kaoyan1basic 高等数学 第7题
📝 题目
### 【基础篇】第7题（填空题） 7．已知函数 $\displaystyle f(x)=x \int_{1}^{x} \frac{\mathrm{e}^{t^{2}}}{t} \mathrm{~d} t$ ，则 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上的平均值为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{e-1}{2}$ **解析**： 步骤1：函数$f(x)$在$(0,1)$上的平均值为$\displaystyle \frac{1}{1-0}\int_{0}^{1}f(x)\,dx=\int_{0}^{1}x\int_{1}^{x}\frac{e^{t^2}}{t}\,dt\,dx$。 步骤2：交换积分次序得$\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{e^{t^2}}{t}\int_{0}^{t}x\,dx\,dt=\int_{0}^{1}\frac{e^{t^2}}{t}\cdot\frac{t^2}{2}\,dt=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}te^{t^2}\,dt=\frac{1}{4}(e-1)$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出平均值的表达式
函数f(x)在区间(0,1)上的平均值为(1/(1-0))∫_0^1 f(x) dx = ∫_0^1 x ∫_1^x (e^{t^2}/t) dt dx。
公式：平均值 = (1/(b-a))∫_a^b f(x) dx
提示：注意积分限，f(x)定义中包含变上限积分。
步骤 2/4
目标：交换积分次序
积分区域由x从0到1，t从1到x，即t从1到0？实际上x∈[0,1]时，∫_1^x表示从1到x，当x<1时积分限反向。因此交换次序时，t从0到1，x从0到t。原积分变为∫_0^1 (e^{t^2}/t) ∫_0^t x dx dt。
公式：交换积分次序：∫_a^b ∫_{g(x)}^{h(x)} f(t) dt dx = ∫_c^d f(t) ∫_{p(t)}^{q(t)} dx dt
提示：注意积分限的变换，画出积分区域有助于理解。
步骤 3/4
目标：计算内层积分
∫_0^t x dx = (1/2) t^2。
公式：∫ x dx = x^2/2
提示：简单幂函数积分。
步骤 4/4
目标：计算外层积分
原积分 = ∫_0^1 (e^{t^2}/t) * (t^2/2) dt = (1/2) ∫_0^1 t e^{t^2} dt。令u=t^2，则du=2t dt，dt=du/(2t)，积分变为(1/2)∫_0^1 e^u * (1/2) du = (1/4) ∫_0^1 e^u du = (1/4)(e-1)。
公式：∫ t e^{t^2} dt = (1/2) e^{t^2} + C
提示：使用换元法或直接凑微分。
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