kaoyan1basic 高等数学 第7题
📝 题目
### 【强化篇】第7题（解答题） 7．求曲线 $\displaystyle y=\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}} \sqrt{\sin x}(x \geqslant 0)$ 绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积。
💡 答案解析
**答案**：$\pi$ **解析**： 步骤1：旋转体体积$V=\pi\int_{0}^{+\infty}e^{-x}\sin x\,dx$。 步骤2：计算积分$\displaystyle \int_{0}^{+\infty}e^{-x}\sin x\,dx=\frac{1}{2}$，故$\displaystyle V=\frac{\pi}{2}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：建立旋转体体积的积分表达式
曲线 y = e^{-x/2} √(sin x) (x ≥ 0) 绕 x 轴旋转，体积微元 dV = π y^2 dx，因此 V = π ∫_0^{+∞} y^2 dx = π ∫_0^{+∞} e^{-x} sin x dx。
公式：V = π ∫_a^b [f(x)]^2 dx
提示：注意 y^2 化简：e^{-x} sin x。
步骤 2/3
目标：计算积分 ∫_0^{+∞} e^{-x} sin x dx
使用分部积分法或公式。设 I = ∫ e^{-x} sin x dx，两次分部积分得 I = -e^{-x} sin x - e^{-x} cos x - I，解得 I = -e^{-x}(sin x + cos x)/2。代入上下限：∫_0^{+∞} e^{-x} sin x dx = lim_{b→+∞} [-e^{-x}(sin x + cos x)/2]_0^b = 0 - (-1/2) = 1/2。
公式：∫ e^{ax} sin(bx) dx = e^{ax}(a sin(bx) - b cos(bx))/(a^2+b^2)
提示：注意极限：当 x→+∞ 时，e^{-x}→0，sin x+cos x 有界，故极限为0。
步骤 3/3
目标：得出旋转体体积
将积分结果代入体积公式：V = π * (1/2) = π/2。
提示：最终答案：π/2。
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