kaoyan1basic 高等数学 第8题
📝 题目
### 【基础篇】第8题（解答题） 8．已知曲线 $L: y=\mathrm{e}^{-x}(x \geqslant 0)$ ，设 $P$ 是 $L$ 上的动点，$V$ 是 $L$ 上从点 $A(0,1)$ 到点 $P$ 的一段弧绕 $x$轴旋转一周所得的旋转体体积，当 $P$ 运动到点 $\displaystyle \left(1, \frac{1}{\mathrm{e}}\right)$ 时，沿 $x$ 轴正向的速度为 1 ，求此时 $V$ 关于时间 $t$ 的变化率．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\pi}{e^2}$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle V(t)=\pi\int_{0}^{x(t)}e^{-2x}\,dx=\frac{\pi}{2}(1-e^{-2x(t)})$。 步骤2：$\displaystyle \frac{dV}{dt}=\pi e^{-2x(t)}\frac{dx}{dt}$，当$x=1$时$\displaystyle \frac{dx}{dt}=1$，得$\displaystyle \frac{dV}{dt}=\pi e^{-2}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：建立旋转体体积V关于x的函数
设P点横坐标为x(t)，则曲线L上从A(0,1)到P(x(t), e^{-x(t)})的一段弧绕x轴旋转所得旋转体体积为V(t)=π∫_{0}^{x(t)} (e^{-x})^2 dx = π∫_{0}^{x(t)} e^{-2x} dx。
公式：V(t)=π∫_{0}^{x(t)} e^{-2x} dx
提示：旋转体体积公式：V=π∫_{a}^{b} [f(x)]^2 dx
步骤 2/4
目标：计算定积分得到V关于x的表达式
计算积分：∫ e^{-2x} dx = -1/2 e^{-2x}，所以V(t)=π[-1/2 e^{-2x}]_{0}^{x(t)} = π/2 (1 - e^{-2x(t)})。
公式：V(t)=π/2 (1 - e^{-2x(t)})
提示：注意积分上下限代入
步骤 3/4
目标：对时间t求导得到dV/dt
对V(t)关于t求导：dV/dt = d/dt [π/2 (1 - e^{-2x(t)})] = π/2 * (2 e^{-2x(t)} dx/dt) = π e^{-2x(t)} dx/dt。
公式：dV/dt = π e^{-2x(t)} dx/dt
提示：链式法则
步骤 4/4
目标：代入已知条件求值
当P运动到点(1, 1/e)时，x=1，且沿x轴正向的速度dx/dt=1。代入得dV/dt = π e^{-2*1} * 1 = π e^{-2}。
公式：dV/dt = π e^{-2}
提示：注意e^{-2}=1/e^2
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