kaoyan1basic 高等数学 第8题
📝 题目
### 【强化篇】第8题（解答题） 8．设曲线 $y=a x^{2}(x \geqslant 0$ ，常数 $a>0)$ 与曲线 $y=1-x^{2}$ 交于点 $A$ ，过坐标原点 $O$ 和点 $A$ 的直线与曲线 $y=a x^{2}$ 围成一平面图形 $D$ 。 （1）求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所成的旋转体体积 $V(a)$ ； （2）求使 $V(a)$ 为最大值时 $a$ 的值．
💡 答案解析
**答案**：（1）$\displaystyle V(a)=\frac{\pi a}{3(1+a)^2}$；（2）$a=1$ **解析**： （1）步骤1：联立$y=ax^2$与$y=1-x^2$得交点$\displaystyle A\left(\frac{1}{\sqrt{1+a}},\frac{a}{1+a}\right)$，直线$OA$方程为$\displaystyle y=\frac{a}{\sqrt{1+a}}x$。 步骤2：$\displaystyle V(a)=\pi\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{1+a}}}\left[\left(\frac{a}{\sqrt{1+a}}x\right)^2-(ax^2)^2\right]dx=\frac{\pi a}{3(1+a)^2}$。 （2）步骤1：令$V'(a)=0$，解得$a=1$，且$V''(1)<0$，故$a=1$时$V$最大。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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