kaoyan1basic 高等数学 第9题
📝 题目
### 【基础篇】第9题（填空题） 9．曲线 $\displaystyle y=\ln \sin x\left(\frac{\pi}{6} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{3}\right)$ 的弧长为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \ln\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$ **解析**： 步骤1：弧长公式$s=\int_{\pi/6}^{\pi/3}\sqrt{1+(y')^2}\,dx$，$y'=\cot x$。 步骤2：$\displaystyle s=\int_{\pi/6}^{\pi/3}\csc x\,dx=\ln|\csc x-\cot x|\big|_{\pi/6}^{\pi/3}=\ln\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出弧长公式
曲线弧长公式为 s = ∫√(1+(y')²) dx，积分区间为 [π/6, π/3]。
公式：s = ∫_{a}^{b} √(1+(y')²) dx
提示：注意积分上下限对应题目给定的x范围。
步骤 2/4
目标：计算导数 y'
y = ln(sin x)，则 y' = (1/sin x) * cos x = cot x。
公式：y' = cot x
提示：利用复合函数求导法则。
步骤 3/4
目标：代入弧长公式并化简
√(1+(y')²) = √(1+cot²x) = √(csc²x) = |csc x|，在[π/6, π/3]上csc x>0，所以为csc x。因此 s = ∫_{π/6}^{π/3} csc x dx。
公式：√(1+cot²x) = csc x
提示：利用三角恒等式1+cot²x=csc²x，注意绝对值。
步骤 4/4
目标：计算定积分
∫ csc x dx = ln|csc x - cot x| + C。代入上下限：s = ln|csc(π/3)-cot(π/3)| - ln|csc(π/6)-cot(π/6)| = ln| (2/√3) - (1/√3) | - ln| 2 - √3 | = ln(1/√3) - ln(2-√3) = ln(1/(√3(2-√3))) = ln((√3+1)/√2)。
公式：∫ csc x dx = ln|csc x - cot x| + C
提示：注意化简时有理化分母：1/(2-√3)=2+√3，再与1/√3相乘得(2+√3)/√3，进一步化简为(√3+1)/√2。
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