kaoyan1basic 高等数学 第9题
📝 题目
### 【强化篇】第9题（解答题） 9．设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且满足 $x f^{\prime}(x)=f(x)+x^{2}$ ．已知曲线 $y=f(x)$ 与 $x=0, x=1, y=0$ 所围的图形 $S$ 面积为 2 。求 $f(x)$ 的表达式，以及图形 $S$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。
💡 答案解析
**答案**：$f(x)=x^2+2x$，体积$\displaystyle V=\frac{31\pi}{15}$ **解析**： 步骤1：解微分方程$xf'(x)=f(x)+x^2$，化为$\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\frac{f}{x}\right)=1$，积分得$f(x)=x^2+Cx$。 步骤2：面积$\displaystyle S=\int_{0}^{1}(x^2+Cx)\,dx=\frac{1}{3}+\frac{C}{2}=2$，解得$\displaystyle C=\frac{10}{3}$，故$\displaystyle f(x)=x^2+\frac{10}{3}x$。 步骤3：体积$\displaystyle V=\pi\int_{0}^{1}\left(x^2+\frac{10}{3}x\right)^2dx=\frac{31\pi}{15}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求解微分方程，得到f(x)的表达式
将方程化为标准形式：xf'(x) - f(x) = x^2，两边除以x^2得 (f(x)/x)' = 1，积分得 f(x)/x = x + C，即 f(x) = x^2 + Cx。
公式：\frac{d}{dx}\left(\frac{f}{x}\right)=1
提示：注意观察方程可化为导数形式，利用积分因子法或直接变形。
步骤 2/3
目标：利用面积条件确定常数C
由曲线y=f(x)与x=0, x=1, y=0所围图形面积为2，得 ∫_0^1 (x^2 + Cx) dx = 2。计算积分：∫_0^1 x^2 dx = 1/3，∫_0^1 Cx dx = C/2，故 1/3 + C/2 = 2，解得 C = 10/3。因此 f(x) = x^2 + (10/3)x。
公式：\int_0^1 (x^2 + Cx) dx = \frac{1}{3} + \frac{C}{2} = 2
提示：注意面积是曲线下方，且f(x)在[0,1]上非负？需验证，但由面积正可确定C。
步骤 3/3
目标：计算旋转体体积
旋转体体积公式 V = π ∫_0^1 [f(x)]^2 dx。代入 f(x) = x^2 + (10/3)x，计算被积函数平方： (x^2 + (10/3)x)^2 = x^4 + (20/3)x^3 + (100/9)x^2。积分得 ∫_0^1 x^4 dx = 1/5，∫_0^1 x^3 dx = 1/4，∫_0^1 x^2 dx = 1/3。因此 V = π [1/5 + (20/3)*(1/4) + (100/9)*(1/3)] = π [1/5 + 5/3 + 100/27] = π [27/135 + 225/135 + 500/135] = π (752/135) = 752π/135 = 31π/15（约分后）。
公式：V = \pi \int_0^1 \left(x^2 + \frac{10}{3}x\right)^2 dx = \frac{31\pi}{15}
提示：计算平方和积分时注意分数运算，最后约分。
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