kaoyan1basic 高等数学 第10题
📝 题目
### 【基础篇】第10题（填空题） 10．曲线 $r=\mathrm{e}^{g}$ 从 $\theta=0$ 到 $\theta=1$ 的弧长为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\sqrt{2}(e-1)$ **解析**： 步骤1：极坐标弧长公式$s=\int_{0}^{1}\sqrt{r^2+(r')^2}\,d\theta$，$r=e^\theta$，$r'=e^\theta$。 步骤2：$s=\int_{0}^{1}\sqrt{2}e^\theta\,d\theta=\sqrt{2}(e-1)$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出极坐标下弧长公式
极坐标下，曲线 r = r(θ) 从 θ = α 到 θ = β 的弧长公式为 s = ∫_α^β √(r^2 + (r')^2) dθ。
公式：s = ∫_α^β √(r^2 + (r')^2) dθ
提示：注意公式中 r' 是 r 对 θ 的导数。
步骤 2/4
目标：计算 r 和 r'
已知 r = e^θ，则 r' = e^θ。
公式：r' = e^θ
提示：指数函数求导不变。
步骤 3/4
目标：代入公式并化简被积函数
代入得 √(r^2 + (r')^2) = √(e^{2θ} + e^{2θ}) = √(2e^{2θ}) = √2 e^θ。
公式：√(r^2 + (r')^2) = √2 e^θ
提示：注意 e^{2θ} 开方得 e^θ。
步骤 4/4
目标：计算定积分
s = ∫_0^1 √2 e^θ dθ = √2 ∫_0^1 e^θ dθ = √2 (e^θ)|_0^1 = √2 (e - 1)。
公式：∫ e^θ dθ = e^θ + C
提示：牛顿-莱布尼茨公式计算定积分。
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