kaoyan1basic 高等数学 第12题
📝 题目
### 【强化篇】第12题（解答题） 12．设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内非负连续，且
$$ $\int_{0}^{x} t f\left(x^{2}\right) f\left(x^{2}-t^{2}\right) \mathrm{d} t=\sin ^{2} x^{2}$ $$
求 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的平均值．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{\pi}$ **解析**： 步骤1：令$u=x^2-t^2$，则原式化为$\displaystyle \frac{1}{2}\int_{0}^{x^2}f(x^2)f(u)\,du=\sin^2 x^2$。 步骤2：两边对$x^2$求导得$\displaystyle \frac{1}{2}f(x^2)f(x^2)=2\sin x^2\cos x^2$，即$f^2(x^2)=2\sin(2x^2)$，故$f(x)=\sqrt{2\sin(2x)}$。 步骤3：平均值$\displaystyle \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sqrt{2\sin(2x)}\,dx=\frac{1}{\pi}$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。