kaoyan1basic 高等数学 第12题
📝 题目
### 【基础篇】第12题（选择题） 12．曲线 $y=\mathrm{e}^{x}$ 与其过原点的切线及 $y$ 轴所围图形的面积为（）。 （A） $\int_{0}^{1}(\ln y-y \ln y) \mathrm{d} x$ （B） $\int_{0}^{1}\left(e^{x}-e x\right) d x$ （C） $\int_{1}^{e}(\ln y-y \ln y) \mathrm{d} x$ （D） $\int_{1}^{0}\left(\mathrm{e}^{x}-x \mathrm{e}^{x}\right) \mathrm{d} x$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：过原点的切线为$y=ex$，切点为$(1,e)$。 步骤2：所围图形面积$S=\int_{0}^{1}(e^x-ex)\,dx$，对应选项B。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求切线方程
设切点为$(x_0, e^{x_0})$，切线斜率为$e^{x_0}$，切线方程为$y = e^{x_0}x$。由于切线过原点，代入$(0,0)$得$0 = e^{x_0} \cdot 0$，恒成立。但需满足切点在切线上：$e^{x_0} = e^{x_0} x_0$，解得$x_0=1$，切点为$(1,e)$，切线方程为$y=ex$。
公式：切线方程：$y = e^{x_0}x$
提示：注意切点既在曲线上也在切线上。
步骤 2/3
目标：确定积分区域
曲线$y=e^x$与切线$y=ex$的交点为$(1,e)$，与$y$轴的交点为$(0,1)$。所围图形由$y$轴、曲线和切线围成，在$x$轴上投影为$[0,1]$。
提示：画出草图帮助理解。
步骤 3/3
目标：计算面积
面积$S = \int_0^1 (e^x - ex) \, dx$，对应选项B。
公式：$S = \int_0^1 (e^x - ex) \, dx$
提示：注意被积函数是上减下。
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