kaoyan1basic 高等数学 第11题
📝 题目
### 【强化篇】第11题（解答题） 11．设函数 $y=f(x)$ 满足微分方程 $\displaystyle y^{\prime}+y=\frac{\mathrm{e}^{-x} \cos x}{2 \sqrt{\sin x}}$ ，且 $f(\pi)=0$ ，求曲
💡 答案解析
**答案**：$y=e^{-x}\sqrt{\sin x}$ **解析**： 步骤1：解一阶线性微分方程$\displaystyle y'+y=\frac{e^{-x}\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$，通解$\displaystyle y=e^{-x}\left(\int\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}dx+C\right)=e^{-x}(\sqrt{\sin x}+C)$。 步骤2：代入$f(\pi)=0$得$C=0$，故$y=e^{-x}\sqrt{\sin x}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别方程类型并写出通解公式
方程 y' + y = e^{-x} cos x / (2√(sin x)) 是一阶线性微分方程，标准形式为 y' + P(x)y = Q(x)，其中 P(x)=1，Q(x)=e^{-x} cos x / (2√(sin x))。通解公式为 y = e^{-∫P dx} (∫ Q e^{∫P dx} dx + C)。
公式：y = e^{-∫P dx} (∫ Q e^{∫P dx} dx + C)
提示：注意一阶线性微分方程的标准形式，P(x)是y的系数。
步骤 2/6
目标：计算积分因子并化简
计算 ∫P dx = ∫1 dx = x，所以积分因子 e^{∫P dx} = e^x。则通解为 y = e^{-x} (∫ (e^{-x} cos x / (2√(sin x))) * e^x dx + C) = e^{-x} (∫ cos x / (2√(sin x)) dx + C)。
公式：y = e^{-x} (∫ cos x / (2√(sin x)) dx + C)
提示：积分因子化简后，被积函数中的e^{-x}与e^x抵消。
步骤 3/6
目标：计算积分 ∫ cos x / (2√(sin x)) dx
令 u = sin x，则 du = cos x dx，积分变为 ∫ 1/(2√u) du = √u + C = √(sin x) + C。注意常数C已包含在通解中。
公式：∫ cos x / (2√(sin x)) dx = √(sin x) + C
提示：使用换元法，注意被积函数形式。
步骤 4/6
目标：写出通解
将积分结果代入通解公式：y = e^{-x} (√(sin x) + C)。
公式：y = e^{-x} (√(sin x) + C)
提示：通解中常数C待定。
步骤 5/6
目标：利用初始条件确定常数
代入 f(π)=0，即 x=π 时 y=0。注意 sin π = 0，√(sin π)=0。得 0 = e^{-π} (0 + C) => C=0。
提示：注意 sin π = 0，代入后直接得到C=0。
步骤 6/6
目标：写出特解
将C=0代入通解，得 y = e^{-x} √(sin x)。
公式：y = e^{-x} √(sin x)
提示：最终结果需化简。
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