kaoyan1basic 高等数学 第11题
📝 题目
### 【基础篇】第11题（填空题） 11．已知函数 $y=y(x)$ 由方程 $y^{4}-6 x y+3=0(1 \leqslant y \leqslant 2)$ 所确定，则曲线 $y=y(x)$ 从点 $\displaystyle \left(\frac{2}{3}, 1\right)$ 到点 $\displaystyle \left(\frac{19}{12}, 2\right)$ 的长度为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{5}{4}$ **解析**： 步骤1：由方程$y^4-6xy+3=0$得$\displaystyle x=\frac{y^4+3}{6y}$，弧长$s=\int_{1}^{2}\sqrt{1+(dx/dy)^2}\,dy$。 步骤2：$\displaystyle \frac{dx}{dy}=\frac{2y^3}{3}-\frac{1}{2y^2}$，则$\displaystyle \sqrt{1+(dx/dy)^2}=\frac{2y^3}{3}+\frac{1}{2y^2}$，积分得$\displaystyle s=\left[\frac{y^4}{6}-\frac{1}{2y}\right]_{1}^{2}=\frac{5}{4}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将曲线方程化为x关于y的函数
由方程 y^4 - 6xy + 3 = 0 解出 x，得到 x = (y^4 + 3)/(6y)。
公式：x = (y^4 + 3)/(6y)
提示：注意 y 的范围为 1 ≤ y ≤ 2。
步骤 2/5
目标：写出弧长公式并确定积分变量
由于曲线以 y 为自变量，弧长公式为 s = ∫_{y1}^{y2} √(1 + (dx/dy)^2) dy，其中 y1=1, y2=2。
公式：s = ∫_{1}^{2} √(1 + (dx/dy)^2) dy
提示：选择 y 为积分变量可简化计算。
步骤 3/5
目标：计算 dx/dy
对 x = (y^4 + 3)/(6y) 求导，得到 dx/dy = (2y^3)/3 - 1/(2y^2)。
公式：dx/dy = (2y^3)/3 - 1/(2y^2)
提示：使用商的求导法则或化简后求导。
步骤 4/5
目标：计算被积函数 √(1 + (dx/dy)^2)
计算 1 + (dx/dy)^2，并开方。得到 √(1 + (dx/dy)^2) = (2y^3)/3 + 1/(2y^2)。
公式：√(1 + (dx/dy)^2) = (2y^3)/3 + 1/(2y^2)
提示：注意完全平方公式：1 + (a - b)^2 = (a + b)^2，其中 a = 2y^3/3, b = 1/(2y^2)。
步骤 5/5
目标：积分计算弧长
对 (2y^3)/3 + 1/(2y^2) 从 1 到 2 积分，得到 s = [y^4/6 - 1/(2y)]_{1}^{2} = (16/6 - 1/4) - (1/6 - 1/2) = 5/4。
公式：s = [y^4/6 - 1/(2y)]_{1}^{2} = 5/4
提示：积分时注意各项的积分公式：∫ y^3 dy = y^4/4，∫ y^{-2} dy = -1/y。
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