kaoyan1basic 高等数学 第14题
📝 题目
### 【强化篇】第14题（填空题） 14．已矢函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内是函数 $\displaystyle \frac{\sin \pi x}{x}$ 的一个原函数，且 $f(1)=0$ ，则 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的平均值为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{2}{\pi}$ **解析**： 步骤1：由原函数定义，$\displaystyle f'(x)=\frac{\sin\pi x}{x}$，且$f(1)=0$，故$\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x}\frac{\sin\pi t}{t}dt$。 步骤2：平均值$\displaystyle \bar{f}=\frac{1}{1-0}\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}\int_{1}^{x}\frac{\sin\pi t}{t}dt dx$。 步骤3：交换积分次序得$\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\sin\pi t}{t}\int_{0}^{t}dx dt=\int_{0}^{1}\sin\pi t dt=\frac{2}{\pi}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：由原函数定义得到f(x)的表达式
已知f(x)是(sin πx)/x的一个原函数，所以f'(x)=sin πx/x。又f(1)=0，因此f(x)=∫_{1}^{x} (sin πt)/t dt。
公式：f(x)=∫_{1}^{x} (sin πt)/t dt
提示：注意原函数定义：F'(x)=f(x)。
步骤 2/3
目标：写出平均值公式并代入f(x)
函数在[0,1]上的平均值为(1/(1-0))∫_0^1 f(x) dx = ∫_0^1 f(x) dx。代入f(x)得∫_0^1 ∫_1^x (sin πt)/t dt dx。
公式：平均值 = ∫_0^1 f(x) dx = ∫_0^1 ∫_1^x (sin πt)/t dt dx
提示：平均值公式：f_avg = (1/(b-a))∫_a^b f(x) dx。
步骤 3/3
目标：交换积分次序并计算
积分区域：x从0到1，t从1到x，但x
公式：∫_0^1 sin πt dt = 2/π
提示：交换次序时注意积分区域：t从0到1，x从0到t。
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