kaoyan1basic 高等数学 第15题
📝 题目
### 【基础篇】第15题（填空题） 15．曲线 $\displaystyle y=\frac{1}{2} x^{2}(x \in[0,1])$ 的长度为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}\left(\sqrt{2}+\ln(1+\sqrt{2})\right)$ **解析**： 步骤1：弧长公式$s=\int_{0}^{1}\sqrt{1+(y')^2}dx$，$y'=x$。 步骤2：$s=\int_{0}^{1}\sqrt{1+x^2}dx$。 步骤3：计算得$\displaystyle \frac{1}{2}\left[x\sqrt{1+x^2}+\ln(x+\sqrt{1+x^2})\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{2}+\ln(1+\sqrt{2})\right)$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：写出弧长公式
曲线 y = (1/2)x^2 在区间 [0,1] 上的弧长公式为 s = ∫_0^1 √(1 + (y')^2) dx。
公式：s = ∫_a^b √(1 + (y')^2) dx
提示：注意弧长公式中是对 x 积分，被积函数为 √(1 + (dy/dx)^2)。
步骤 2/3
目标：计算导数并代入
y' = x，代入得 s = ∫_0^1 √(1 + x^2) dx。
公式：y' = x
提示：导数计算正确即可。
步骤 3/3
目标：计算定积分
利用积分公式 ∫ √(1+x^2) dx = (1/2)[x√(1+x^2) + ln(x + √(1+x^2))] + C，代入上下限得 s = (1/2)[√2 + ln(1+√2)]。
公式：∫ √(1+x^2) dx = (1/2)[x√(1+x^2) + ln(x + √(1+x^2))] + C
提示：注意积分公式的推导，或者直接使用标准积分结果。
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