kaoyan1basic 高等数学 第15题
📝 题目
### 【强化篇】第15题（填空题） 15．设函数 $f(x)$ 非负连续，且 $f(x) \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} l=2 x^{2}$ ，则 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上的平均值为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{4}{3}$ **解析**： 步骤1：设$A=\int_{0}^{1}f(x)dx$，则条件化为$f(x)A=2x^2$，故$\displaystyle f(x)=\frac{2x^2}{A}$。 步骤2：两边在$[0,1]$积分得$\displaystyle A=\int_{0}^{1}\frac{2x^2}{A}dx=\frac{2}{3A}$，解得$\displaystyle A=\sqrt{\frac{2}{3}}$。 步骤3：$f(x)=\sqrt{6}x^2$，在$[0,2]$上的平均值$\displaystyle \bar{f}=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}\sqrt{6}x^2dx=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{6}\cdot\frac{8}{3}=\frac{4\sqrt{6}}{3}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：引入常数A简化条件
设 A = ∫₀¹ f(x) dx，则条件 f(x) ∫₀¹ f(x) dl = 2x² 变为 f(x) A = 2x²，因此 f(x) = 2x² / A。
公式：f(x) = 2x² / A
提示：注意积分变量与x无关，A是常数。
步骤 2/4
目标：求解常数A
将 f(x) = 2x² / A 代入 A = ∫₀¹ f(x) dx，得 A = ∫₀¹ (2x² / A) dx = (2/A) ∫₀¹ x² dx = (2/A) * (1/3) = 2/(3A)，解得 A² = 2/3，故 A = √(2/3)（非负）。
公式：A = 2/(3A) ⇒ A = √(2/3)
提示：注意f(x)非负，A>0。
步骤 3/4
目标：得到f(x)表达式
将 A = √(2/3) 代入 f(x) = 2x² / A，得 f(x) = 2x² / √(2/3) = 2x² * √(3/2) = √6 x²。
公式：f(x) = √6 x²
提示：化简时注意有理化。
步骤 4/4
目标：计算平均值
f(x) 在 [0,2] 上的平均值为 (1/(2-0)) ∫₀² f(x) dx = (1/2) ∫₀² √6 x² dx = (√6/2) * (x³/3)|₀² = (√6/2) * (8/3) = (4√6)/3。
公式：平均值 = (1/(b-a)) ∫ₐᵇ f(x) dx
提示：注意积分上下限。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。