kaoyan1basic 高等数学 第16题
📝 题目
### 【基础篇】第16题（选择题） 16．设平面 $D$ 是由 $y=\ln x, x=1, y=1$ 围成的第一象限的有界区域，记 $D$ 绕 $x$ 轴与绕 $y=1$ 旋转一周所得旋转体的体积分别为 $V_{1}, V_{2}$ ，则（ ． （A）$\displaystyle V_{1}>\frac{\pi}{2}>V_{2}$ （B）$\displaystyle V_{2}>\frac{\pi}{2}>V_{1}$ （C）$\displaystyle \frac{\pi}{2}>V_{1}>V_{2}$ （D）$\displaystyle \frac{\pi}{2}>V_{2}>V_{1}$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：区域$D$由$y=\ln x$、$x=1$、$y=1$围成，交点$(1,0)$、$(e,1)$、$(1,1)$。 步骤2：$V_1=\pi\int_{1}^{e}(1^2-\ln^2x)dx=\pi\left[e-1-\int_{1}^{e}\ln^2x dx\right]$，计算得$V_1=\pi(2e-4)$。 步骤3：$V_2=\pi\int_{0}^{1}(e^y-1)^2dy$，计算得$\displaystyle V_2=\pi\left(\frac{e^2}{2}-2e+\frac{3}{2}\right)$。 步骤4：比较得$\displaystyle V_2>\frac{\pi}{2}>V_1$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。