kaoyan1basic 高等数学 第16题
📝 题目
### 【强化篇】第16题（填空题） 16．设 $f(x)$ 为 $[0,3]$ 上的非负连续函数，且满足 $f(x) \int_{1}^{2} f(x t-x) \mathrm{d} t=2 x^{2}, x \in[0,3]$ ，则 $f(x)$在区用 $[1,3]$ 上的平均值为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{9}{2}$ **解析**： 步骤1：令$u=xt-x$，则$\displaystyle t=\frac{u+x}{x}$，$\displaystyle dt=\frac{du}{x}$，积分限$u=0$到$x$，故$\displaystyle \int_{1}^{2}f(xt-x)dt=\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(u)du$。 步骤2：条件化为$\displaystyle f(x)\cdot\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(u)du=2x^2$，即$f(x)\int_{0}^{x}f(u)du=2x^3$。 步骤3：令$F(x)=\int_{0}^{x}f(u)du$，则$F'(x)F(x)=2x^3$，积分得$\displaystyle \frac{1}{2}F^2(x)=\frac{1}{2}x^4+C$，由$F(0)=0$得$C=0$，故$F(x)=x^2$，$f(x)=2x$。 步骤4：在$[1,3]$上的平均值$\displaystyle \bar{f}=\frac{1}{2}\int_{1}^{3}2x dx=\frac{1}{2}\cdot(9-1)=4$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简积分表达式
令 u = xt - x，则 t = (u+x)/x，dt = du/x，积分限 t=1 到 2 对应 u=0 到 x，故 ∫₁² f(xt-x) dt = (1/x)∫₀ˣ f(u) du。
公式：∫₁² f(xt-x) dt = (1/x)∫₀ˣ f(u) du
提示：注意变量替换时积分限的变化，以及 x 视为常数。
步骤 2/4
目标：代入原条件得到微分方程
原条件 f(x) ∫₁² f(xt-x) dt = 2x² 代入得 f(x)·(1/x)∫₀ˣ f(u) du = 2x²，即 f(x)∫₀ˣ f(u) du = 2x³。
公式：f(x)∫₀ˣ f(u) du = 2x³
提示：两边乘以 x 得到简洁形式。
步骤 3/4
目标：求解微分方程
令 F(x)=∫₀ˣ f(u) du，则 F'(x)=f(x)，方程化为 F'(x)F(x)=2x³。两边积分得 (1/2)F²(x) = (1/2)x⁴ + C，由 F(0)=0 得 C=0，故 F(x)=x²，从而 f(x)=F'(x)=2x。
公式：F'(x)F(x)=2x³ ⇒ F²(x)=x⁴ ⇒ F(x)=x², f(x)=2x
提示：注意初始条件 F(0)=0 确定常数。
步骤 4/4
目标：计算平均值
f(x) 在 [1,3] 上的平均值为 (1/(3-1))∫₁³ f(x) dx = (1/2)∫₁³ 2x dx = (1/2)(x²)|₁³ = (1/2)(9-1)=4。
公式：平均值 = (1/(b-a))∫ₐᵇ f(x) dx
提示：积分计算注意上下限。
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