kaoyan1basic 高等数学 第17题
📝 题目
### 【基础篇】第17题（填空题） 17．曲线 $y=x^{2}$ 从点 $(1,1)$ 到点 $(2,4)$ 的一段弧绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的侧面积为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\pi}{6}(17\sqrt{17}-5\sqrt{5})$ **解析**： 步骤1：侧面积公式$S=2\pi\int_{1}^{2}x\sqrt{1+(y')^2}dx$，$y'=2x$。 步骤2：$S=2\pi\int_{1}^{2}x\sqrt{1+4x^2}dx$。 步骤3：令$u=1+4x^2$，$du=8x dx$，积分限$u=5$到$17$，得$\displaystyle S=2\pi\cdot\frac{1}{8}\int_{5}^{17}\sqrt{u}du=\frac{\pi}{4}\cdot\frac{2}{3}(17^{3/2}-5^{3/2})=\frac{\pi}{6}(17\sqrt{17}-5\sqrt{5})$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出旋转体侧面积公式
曲线 y = x^2 绕 y 轴旋转，侧面积公式为 S = 2π ∫ x ds，其中 ds = √(1+(y')^2) dx，积分区间为 x 从 1 到 2。
公式：S = 2π ∫_{x1}^{x2} x √(1+(y')^2) dx
提示：注意绕 y 轴旋转时，半径是 x，弧微分 ds = √(1+(y')^2) dx。
步骤 2/4
目标：计算 y' 并代入公式
y = x^2，则 y' = 2x，代入得 S = 2π ∫_{1}^{2} x √(1+4x^2) dx。
公式：S = 2π ∫_{1}^{2} x √(1+4x^2) dx
提示：正确求导并代入。
步骤 3/4
目标：换元积分
令 u = 1+4x^2，则 du = 8x dx，x dx = du/8。当 x=1 时 u=5，x=2 时 u=17。积分变为 S = 2π ∫_{5}^{17} √u * (du/8) = (π/4) ∫_{5}^{17} u^{1/2} du。
公式：∫ u^{1/2} du = (2/3) u^{3/2}
提示：换元时注意积分限的变化，以及 dx 与 du 的转换。
步骤 4/4
目标：计算定积分
S = (π/4) * (2/3) [u^{3/2}]_{5}^{17} = (π/6) (17^{3/2} - 5^{3/2}) = (π/6)(17√17 - 5√5)。
公式：S = (π/6)(17√17 - 5√5)
提示：注意 17^{3/2} = 17√17，5^{3/2} = 5√5。
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