kaoyan1basic 高等数学 第17题
📝 题目
### 【强化篇】第17题（填空题） 17．已知函数 $f(x)$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{3 \pi}{2}\right]$ 上连续，在 $\displaystyle \left(0, \frac{3 \pi}{2}\right)$ 内是函数 $\displaystyle \frac{\cos x}{2 x-3 \pi}$ 的一个原函数，且 $f(0)=0$ ，则 $f(x)$ 在区间 $\displaystyle \left[0, \frac{3 \pi}{2}\right]$ 上的平均值为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{2}{3\pi}$ **解析**： 步骤1：由原函数定义，$\displaystyle f'(x)=\frac{\cos x}{2x-3\pi}$，且$f(0)=0$，故$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x}\frac{\cos t}{2t-3\pi}dt$。 步骤2：平均值$\displaystyle \bar{f}=\frac{2}{3\pi}\int_{0}^{3\pi/2}f(x)dx=\frac{2}{3\pi}\int_{0}^{3\pi/2}\int_{0}^{x}\frac{\cos t}{2t-3\pi}dt dx$。 步骤3：交换积分次序得$\displaystyle \frac{2}{3\pi}\int_{0}^{3\pi/2}\frac{\cos t}{2t-3\pi}\int_{t}^{3\pi/2}dx dt=\frac{2}{3\pi}\int_{0}^{3\pi/2}\frac{\cos t}{2t-3\pi}\left(\frac{3\pi}{2}-t\right)dt$。 步骤4：令$u=2t-3\pi$，化简得$\displaystyle \frac{1}{3\pi}\int_{-3\pi}^{0}\cos\frac{u+3\pi}{2}du=-\frac{2}{3\pi}$。 **难度**：★★★★☆