kaoyan1basic 高等数学 第18题
📝 题目
### 【基础篇】第18题（填空题） 18．函数 $\displaystyle y=\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}$ 在区间 $[0,1]$ 的平均值为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ **解析**： 步骤1：平均值$\displaystyle \bar{y}=\frac{1}{1-0}\int_{0}^{1}\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx$。 步骤2：令$x=\sin\theta$，$dx=\cos\theta d\theta$，积分限$\theta=0$到$\displaystyle \frac{\pi}{2}$，得$\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\sin^2\theta d\theta=\frac{\pi}{4}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：写出函数在区间上的平均值公式
函数在区间 [0,1] 上的平均值为 $\bar{y} = \frac{1}{1-0} \int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx$。
公式：$\bar{y} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$
提示：注意区间长度是1，所以平均值为积分值本身。
步骤 2/3
目标：利用三角代换计算积分
令 $x = \sin\theta$，则 $dx = \cos\theta d\theta$，当 $x=0$ 时 $\theta=0$，当 $x=1$ 时 $\theta=\frac{\pi}{2}$。代入得 $\int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^2\theta}{\sqrt{1-\sin^2\theta}} \cos\theta d\theta = \int_0^{\pi/2} \sin^2\theta d\theta$。
公式：$\sqrt{1-\sin^2\theta} = \cos\theta$
提示：注意 $\cos\theta$ 在 $[0,\pi/2]$ 上非负，开方后直接取 $\cos\theta$。
步骤 3/3
目标：计算定积分 $\int_0^{\pi/2} \sin^2\theta d\theta$
利用倍角公式 $\sin^2\theta = \frac{1-\cos2\theta}{2}$，则 $\int_0^{\pi/2} \sin^2\theta d\theta = \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} (1-\cos2\theta) d\theta = \frac{1}{2} \left[ \theta - \frac{1}{2}\sin2\theta \right]_0^{\pi/2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$。
公式：$\sin^2\theta = \frac{1-\cos2\theta}{2}$
提示：也可利用 $\int_0^{\pi/2} \sin^2\theta d\theta = \int_0^{\pi/2} \cos^2\theta d\theta = \frac{\pi}{4}$ 的结论。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。