kaoyan1basic 高等数学 第18题

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📝 题目

### 【强化篇】第18题（解答题） 18．设 $f(x)=\int_{-1}^{x} t|t| \mathrm{d} t$ ，求曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴所围成的封闭图形的面积．

💡 答案解析

**答案**：$\displaystyle \frac{1}{3}$ **解析**： 步骤1：$f(x)=\int_{-1}^{x}t|t|dt$，当$x<0$时，$t|t|=-t^2$，$\displaystyle f(x)=\int_{-1}^{x}(-t^2)dt=-\frac{1}{3}(x^3+1)$；当$x\geq0$时，$\displaystyle f(x)=\int_{-1}^{0}(-t^2)dt+\int_{0}^{x}t^2dt=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}$。 步骤2：曲线与$x$轴交点：令$f(x)=0$，得$x=1$（$x=-1$处$f(-1)=0$已为端点）。 步骤3：封闭图形由$x$从$-1$到$1$，$y=f(x)$与$x$轴围成，面积$S=\int_{-1}^{1}|f(x)|dx$。 步骤4：$\displaystyle |f(x)|=\begin{cases}\frac{1}{3}(x^3+1), & -1\leq x<0 \\ \frac{1}{3}(1-x^3), & 0\leq x\leq1\end{cases}$，积分得$\displaystyle S=\frac{1}{3}\int_{-1}^{0}(x^3+1)dx+\frac{1}{3}\int_{0}^{1}(1-x^3)dx=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4}+\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{2}$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：写出f(x)的分段表达式
当x<0时，t|t|=-t^2，f(x)=∫_{-1}^x (-t^2)dt = -1/3 (x^3+1)；当x≥0时，f(x)=∫_{-1}^0 (-t^2)dt + ∫_0^x t^2 dt = 1/3 x^3 - 1/3。
公式：f(x) = { -1/3 (x^3+1), x<0; 1/3 x^3 - 1/3, x≥0 }
提示：注意被积函数含绝对值，需分区间处理。
步骤 2/4
目标：求曲线与x轴的交点
令f(x)=0，解得x=1（x=-1处f(-1)=0已为端点）。
公式：f(1)=0
提示：注意端点x=-1也是交点。
步骤 3/4
目标：确定封闭图形并写出面积表达式
封闭图形由x从-1到1，y=f(x)与x轴围成，面积S=∫_{-1}^1 |f(x)| dx。
公式：S = ∫_{-1}^1 |f(x)| dx
提示：面积需取绝对值。
步骤 4/4
目标：计算面积
|f(x)| = { 1/3 (x^3+1), -1≤x<0; 1/3 (1-x^3), 0≤x≤1 }，积分得S = 1/3 ∫_{-1}^0 (x^3+1)dx + 1/3 ∫_0^1 (1-x^3)dx = 1/3 * 3/4 + 1/3 * 3/4 = 1/2。
公式：S = 1/3 [ (1/4 x^4 + x)|_{-1}^0 + (x - 1/4 x^4)|_0^1 ] = 1/2
提示：注意积分上下限和分段。

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