kaoyan1basic 高等数学 第19题
📝 题目
### 【基础篇】第19题（解答题） 19．设 $P$ 为曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=\cos t, \\ y=2 \sin ^{2} t,\end{array} t \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\right.$ 上的一点，该曲线与直线 $O P$ 及 $x$ 轴所围图形的面积为 $S$ ，求函数 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{~d} t}$ 取得最大值时点 $P$ 的坐标．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2},1\right)$ **解析**： 步骤1：曲线参数方程$x=\cos t$，$y=2\sin^2 t$，$t\in[0,\pi/2]$，点$P$对应参数$t$，直线$OP$方程$\displaystyle y=\frac{2\sin^2 t}{\cos t}x$。 步骤2：曲线与$x$轴及$OP$围成面积$\displaystyle S=\int_{0}^{\cos t}2\sin^2 t\cdot\frac{x}{\cos t}dx-\int_{0}^{\cos t}2\sin^2(\arccos x)dx$，但更简便：$\displaystyle S=\frac{1}{2}\cdot\cos t\cdot 2\sin^2 t-\int_{0}^{\cos t}2\sin^2(\arccos x)dx$。 步骤3：计算得$\displaystyle S=\sin^2 t\cos t-\int_{0}^{\cos t}2(1-x^2)dx=\sin^2 t\cos t-2\cos t+\frac{2}{3}\cos^3 t$。 步骤4：$\displaystyle \frac{dS}{dt}=2\sin t\cos^2 t-\sin^3 t+2\sin t-2\sin t\cos^2 t=2\sin t-\sin^3 t$，令其最大，求导得$2\cos t-3\sin^2 t\cos t=0$，$\cos t=0$（舍）或$\displaystyle \sin t=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\displaystyle t=\frac{\pi}{4}$，此时$\displaystyle P\left(\frac{\sqrt{2}}{2},1\right)$。 **难度**：★★★★☆