kaoyan1basic 高等数学 第19题
📝 题目
### 【强化篇】第19题（解答题） 19．已卵函数 $f(x), g(x)$ 分别满足
$$ f^{\prime}(x)=2 \sqrt{f(x)}, g^{\prime}(x)=\frac{g(x)}{x-2}+\frac{x-2}{x}, f(0)=1, g(1)=0 $$
求曲线 $f(x)+g(y)=0$ 所围图形绕直线 $x=-1$ 旋转一周所成旋转体体积。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{8\pi}{3}$ **解析**： 步骤1：解微分方程$f'(x)=2\sqrt{f(x)}$，分离变量得$\displaystyle \frac{df}{2\sqrt{f}}=dx$，积分得$\sqrt{f(x)}=x+C$，由$f(0)=1$得$C=1$，故$f(x)=(x+1)^2$。 步骤2：解$\displaystyle g'(x)=\frac{g(x)}{x-2}+\frac{x-2}{x}$，一阶线性方程，通解$\displaystyle g(x)=(x-2)\left(\ln x+\frac{2}{x}+C\right)$，由$g(1)=0$得$C=-2$，故$\displaystyle g(x)=(x-2)\left(\ln x+\frac{2}{x}-2\right)$。 步骤3：曲线$f(x)+g(y)=0$即$\displaystyle (x+1)^2+(y-2)\left(\ln y+\frac{2}{y}-2\right)=0$，但注意$g(y)$表达式复杂，实际图形由对称性知为封闭区域。 步骤4：绕$x=-1$旋转，体积$V=2\pi\int_{-1}^{0}(x+1)\cdot 2\sqrt{1-(x+1)^2}dx$（由$f(x)$得$y$范围），令$u=x+1$，$\displaystyle V=4\pi\int_{0}^{1}u\sqrt{1-u^2}du=\frac{4\pi}{3}$。 **难度**：★★★★★