kaoyan1basic 高等数学 第20题
📝 题目
### 【基础篇】第20题（解答题） 20．求常数 $a(a>0)$ ，使曲线 $y=a\left(1-x^{2}\right)$ 与其在 $(-1,0)$ 及 $(1,0)$ 两点处的法线所围成图形的面积最小。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle a=\frac{3}{4}$ **解析**： 步骤1：曲线$y=a(1-x^2)$在$(-1,0)$处导数$y'=-2ax$，$y'|_{x=-1}=2a$，法线斜率$\displaystyle -\frac{1}{2a}$，法线方程$\displaystyle y=-\frac{1}{2a}(x+1)$；在$(1,0)$处$y'=-2a$，法线斜率$\displaystyle \frac{1}{2a}$，法线方程$\displaystyle y=\frac{1}{2a}(x-1)$。 步骤2：两法线交点：联立得$x=0$，$\displaystyle y=-\frac{1}{2a}$。 步骤3：所围图形面积$\displaystyle S=2\int_{0}^{1}\left[a(1-x^2)-\left(-\frac{1}{2a}\right)\right]dx$（注意下方直线为$\displaystyle y=-\frac{1}{2a}$），计算得$\displaystyle S=2\left[\frac{2a}{3}+\frac{1}{2a}\right]=\frac{4a}{3}+\frac{1}{a}$。 步骤4：求导$\displaystyle S'(a)=\frac{4}{3}-\frac{1}{a^2}=0$，得$\displaystyle a=\frac{\sqrt{3}}{2}$，但需验证最小值，$\displaystyle S''(a)=\frac{2}{a^3}>0$，故$\displaystyle a=\frac{\sqrt{3}}{2}$时面积最小。 **难度**：★★★★☆