kaoyan1basic 高等数学 第20题
📝 题目
### 【强化篇】第20题（解答题） 20．在曲线 $\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ 上的横坐标为 $a(0
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle a=\frac{1}{4}$ **解析**： 步骤1：曲线$\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$，即$y=(1-\sqrt{x})^2$，在$x=a$处$y=(1-\sqrt{a})^2$，导数$\displaystyle y'=-\frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$，在$x=a$处$\displaystyle y'=-\frac{1-\sqrt{a}}{\sqrt{a}}$。 步骤2：切线方程$\displaystyle y-(1-\sqrt{a})^2=-\frac{1-\sqrt{a}}{\sqrt{a}}(x-a)$，令$x=0$得$y$截距$1-\sqrt{a}$，令$y=0$得$x$截距$\sqrt{a}$。 步骤3：切线与坐标轴围成三角形绕$y$轴旋转，体积$\displaystyle V=\frac{\pi}{3}\cdot(\sqrt{a})^2\cdot(1-\sqrt{a})=\frac{\pi}{3}a(1-\sqrt{a})$。 步骤4：求$V$最大，令$f(a)=a(1-\sqrt{a})$，$\displaystyle f'(a)=1-\frac{3}{2}\sqrt{a}=0$，得$\displaystyle a=\frac{4}{9}$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求曲线在x=a处的函数值和导数
曲线方程：√x + √y = 1，即 y = (1 - √x)^2。在 x = a 处，y = (1 - √a)^2。求导得 y' = - (1 - √x)/√x，在 x = a 处，y' = - (1 - √a)/√a。
公式：y = (1 - √x)^2, y' = - (1 - √x)/√x
提示：注意隐函数求导或直接对显函数求导。
步骤 2/4
目标：写出切线方程并求截距
切线方程：y - (1 - √a)^2 = - (1 - √a)/√a (x - a)。令 x=0 得 y 截距：1 - √a；令 y=0 得 x 截距：√a。
公式：切线方程：y - y0 = y'(a)(x - a)
提示：截距是切线在坐标轴上的交点坐标。
步骤 3/4
目标：建立旋转体体积表达式
切线与坐标轴围成直角三角形，绕 y 轴旋转一周得到圆锥体，底面半径 √a，高 1 - √a，体积 V = (π/3) * (√a)^2 * (1 - √a) = (π/3) a (1 - √a)。
公式：V = (π/3) r^2 h
提示：圆锥体积公式，注意旋转轴是 y 轴。
步骤 4/4
目标：求体积最大时的 a 值
令 f(a) = a (1 - √a)，求导 f'(a) = 1 - (3/2)√a = 0，解得 √a = 2/3，即 a = 4/9。
公式：f'(a) = 1 - (3/2)√a = 0
提示：注意定义域 0 < a < 1，导数零点唯一。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。