kaoyan1basic 高等数学 第24题
📝 题目
### 【强化篇】第24题（解答题） 24．设函数 $y=f(x)$ 在区间 $[0, a]$ 上非负，$f^{\prime \prime}(x)>0$ ，且 $f(0)=0$ ．有一块质量均匀分布的平板 $D$ ，其占据的区域是曲线 $y=f(x)$ 与直线 $x=a$ 以及 $x$ 轴围成的平面图形。用 $\bar{x}$ 表示平板 $D$ 的质心的横坐标（见图）。证明： $\displaystyle \bar{x}>\frac{2}{3} a$ 。
💡 答案解析
**答案**：证明见解析。 **解析**： 步骤1：质心横坐标$\displaystyle \bar{x}=\frac{\int_0^a x f(x) dx}{\int_0^a f(x) dx}$，需证$\displaystyle \bar{x}>\frac{2}{3}a$，即$\displaystyle \int_0^a x f(x) dx > \frac{2}{3}a \int_0^a f(x) dx$。 步骤2：令$\displaystyle F(x)=\int_0^x t f(t) dt - \frac{2}{3}x \int_0^x f(t) dt$，则$F(0)=0$，$\displaystyle F'(x)=x f(x) - \frac{2}{3}\int_0^x f(t) dt - \frac{2}{3}x f(x)=\frac{1}{3}x f(x) - \frac{2}{3}\int_0^x f(t) dt$。 步骤3：由$f''(x)>0$，$f(0)=0$，知$f(x)$为凸函数，$f(x)>f(0)+f'(0)x$，且$f'(x)$递增。利用积分中值定理，$\displaystyle \int_0^x f(t) dt < \frac{x}{2} f(x)$（因凸函数性质），故$\displaystyle F'(x)>\frac{1}{3}x f(x) - \frac{2}{3}\cdot \frac{x}{2} f(x)=0$，所以$F(x)$递增，$F(a)>F(0)=0$，即$\displaystyle \int_0^a x f(x) dx > \frac{2}{3}a \int_0^a f(x) dx$，故$\displaystyle \bar{x}>\frac{2}{3}a$。 **难度**：★★★☆☆