kaoyan1basic 高等数学 第25题

教材习题

📝 题目

### 【强化篇】第25题（解答题） 25．求㭷线的一拱 $\left\{\begin{array}{l}x=a(l-\sin l), \\ y=a(1-\cos l)\end{array}(0 \leqslant l \leqslant 2 \pi, a>0)\right.$ 与 $x$ 轴围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所形成的旋转体的体积与表面积。

💡 答案解析

**答案**：体积$V=5\pi^2 a^3$；表面积$\displaystyle S=\frac{64}{3}\pi a^2$。 **解析**： 步骤1：摆线一拱参数方程$x=a(t-\sin t)$，$y=a(1-\cos t)$，$t\in[0,2\pi]$，与$x$轴围成图形绕$x$轴旋转。 步骤2：体积$V=\int_0^{2\pi} \pi y^2 dx = \int_0^{2\pi} \pi a^2(1-\cos t)^2 \cdot a(1-\cos t) dt = \pi a^3 \int_0^{2\pi} (1-\cos t)^3 dt$，利用$\int_0^{2\pi} (1-\cos t)^3 dt = 5\pi$，故$V=5\pi^2 a^3$。 步骤3：表面积$S=\int_0^{2\pi} 2\pi y \sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2} dt$，$dx/dt=a(1-\cos t)$，$dy/dt=a\sin t$，$\displaystyle \sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}=a\sqrt{2-2\cos t}=2a|\sin\frac{t}{2}|$，故$\displaystyle S=\int_0^{2\pi} 2\pi a(1-\cos t) \cdot 2a\sin\frac{t}{2} dt = 4\pi a^2 \int_0^{2\pi} (1-\cos t)\sin\frac{t}{2} dt$，令$u=t/2$，得$\displaystyle S=8\pi a^2 \int_0^{\pi} (1-\cos 2u)\sin u du = 8\pi a^2 \int_0^{\pi} 2\sin^2 u \sin u du = 16\pi a^2 \int_0^{\pi} \sin^3 u du = 16\pi a^2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{64}{3}\pi a^2$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：确定旋转体体积的积分表达式
摆线一拱参数方程为 x = a(t - sin t), y = a(1 - cos t), t ∈ [0, 2π]。与 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转，体积微元为 dV = π y^2 dx。由参数方程，dx = a(1 - cos t) dt，故体积 V = ∫_{0}^{2π} π y^2 dx = ∫_{0}^{2π} π [a(1 - cos t)]^2 · a(1 - cos t) dt = π a^3 ∫_{0}^{2π} (1 - cos t)^3 dt。
公式：V = ∫ π y^2 dx, dx = a(1 - cos t) dt
提示：注意参数方程中 dx 的表达式，积分限对应 t 从 0 到 2π。
步骤 2/4
目标：计算体积积分
计算 I = ∫_{0}^{2π} (1 - cos t)^3 dt。利用三角恒等式 (1 - cos t)^3 = 8 sin^6(t/2)，或直接展开：1 - 3 cos t + 3 cos^2 t - cos^3 t。利用对称性和周期积分，可得 I = 5π。因此 V = π a^3 · 5π = 5π^2 a^3。
公式：∫_{0}^{2π} (1 - cos t)^3 dt = 5π
提示：可先化简被积函数，利用倍角公式或对称性简化计算。
步骤 3/4
目标：确定旋转体表面积的积分表达式
旋转体表面积公式 S = ∫ 2π y ds，其中弧微分 ds = √[(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2] dt。计算 dx/dt = a(1 - cos t), dy/dt = a sin t，则 ds = a √[(1 - cos t)^2 + sin^2 t] dt = a √(2 - 2 cos t) dt = 2a |sin(t/2)| dt。在 t ∈ [0, 2π] 上，sin(t/2) ≥ 0，故 ds = 2a sin(t/2) dt。因此 S = ∫_{0}^{2π} 2π y ds = ∫_{0}^{2π} 2π a(1 - cos t) · 2a sin(t/2) dt = 4π a^2 ∫_{0}^{2π} (1 - cos t) sin(t/2) dt。
公式：S = ∫ 2π y ds, ds = √[(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2] dt
提示：注意弧微分公式，并利用三角恒等式化简根式。
步骤 4/4
目标：计算表面积积分
令 u = t/2，则 t = 2u, dt = 2 du，积分限 u ∈ [0, π]。则 S = 4π a^2 ∫_{0}^{π} (1 - cos 2u) sin u · 2 du = 8π a^2 ∫_{0}^{π} (1 - cos 2u) sin u du。利用 1 - cos 2u = 2 sin^2 u，得 S = 8π a^2 ∫_{0}^{π} 2 sin^2 u sin u du = 16π a^2 ∫_{0}^{π} sin^3 u du。计算 ∫_{0}^{π} sin^3 u du = 4/3，故 S = 16π a^2 · 4/3 = 64π a^2 / 3。
公式：∫_{0}^{π} sin^3 u du = 4/3
提示：换元后注意积分限变化，利用三角恒等式简化被积函数。

📷 拍照上传批改

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。
← 第24题 返回列表 第26题 →