kaoyan1basic 高等数学 第1题
📝 题目
### 【基础篇】第1题（选择题） 1．设 $a>0$ ，则在 $[0, a]$ 上方程 $\displaystyle \int_{0}^{x} \sqrt{4 a^{2}-t^{2}} \mathrm{~d} t+\int_{a}^{x} \frac{1}{\sqrt{4 a^{2}-t^{2}}} \mathrm{~d} t=0$ 根的个数为（ ）． （A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：令$\displaystyle F(x)=\int_0^x \sqrt{4a^2-t^2} dt + \int_a^x \frac{1}{\sqrt{4a^2-t^2}} dt$，则$\displaystyle F(0)=\int_a^0 \frac{1}{\sqrt{4a^2-t^2}} dt = -\int_0^a \frac{1}{\sqrt{4a^2-t^2}} dt <0$，$F(a)=\int_0^a \sqrt{4a^2-t^2} dt >0$。 步骤2：$\displaystyle F'(x)=\sqrt{4a^2-x^2} + \frac{1}{\sqrt{4a^2-x^2}} >0$，故$F(x)$严格单调递增，在$[0,a]$上恰有一个根。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：构造函数并计算端点函数值
令 F(x) = ∫₀ˣ √(4a² - t²) dt + ∫ₐˣ 1/√(4a² - t²) dt。计算 F(0) = ∫ₐ⁰ 1/√(4a² - t²) dt = -∫₀ᵃ 1/√(4a² - t²) dt < 0；F(a) = ∫₀ᵃ √(4a² - t²) dt > 0。
公式：F(0) = -∫₀ᵃ 1/√(4a² - t²) dt < 0, F(a) = ∫₀ᵃ √(4a² - t²) dt > 0
提示：注意积分上下限，F(0)中第二个积分从a到0，需交换上下限并加负号。
步骤 2/3
目标：求导判断单调性
对F(x)求导得 F'(x) = √(4a² - x²) + 1/√(4a² - x²)。由于a>0且x∈[0,a]，√(4a² - x²) > 0，故F'(x) > 0，F(x)在[0,a]上严格单调递增。
公式：F'(x) = √(4a² - x²) + 1/√(4a² - x²) > 0
提示：利用导数大于0判断单调递增。
步骤 3/3
目标：结合端点值符号确定根个数
因为F(0) < 0，F(a) > 0，且F(x)在[0,a]上连续、严格单调递增，由零点定理知存在唯一x₀∈(0,a)使F(x₀)=0，故方程在[0,a]上恰有一个根。
提示：零点定理结合单调性保证唯一性。
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