kaoyan1basic 高等数学 第1题
📝 题目
### 【强化篇】第1题（选择题） 1．设 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上二阶可导，且 $f^{\prime \prime}(x)>0, f(0)=-1$ ，则 () ． （A） $\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x>0$ （B） $\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x<0$ （C） $\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x>-2$ （D） $\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x<-2$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：由$f''(x)>0$，$f(0)=-1$，知$f(x)$为凸函数，$f(x)\ge f(0)+f'(0)x$，且$f(x)$在$[-1,1]$上最小值在端点或内部，但$f(0)=-1$。 步骤2：利用凸函数性质，$\int_{-1}^1 f(x) dx > 2f(0) = -2$（因为凸函数在区间上的积分大于中点函数值乘以区间长度），故$\int_{-1}^1 f(x) dx > -2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析函数性质
由 f''(x) > 0 知 f(x) 是凸函数，且 f(0) = -1。凸函数满足 f(x) ≥ f(0) + f'(0)x，即切线在函数下方。
公式：f(x) ≥ f(0) + f'(0)x
提示：凸函数的切线不等式
步骤 2/3
目标：利用凸函数积分性质
对于凸函数，区间上的积分大于中点函数值乘以区间长度，即 ∫_{-1}^{1} f(x) dx > 2f(0) = -2。
公式：∫_{-1}^{1} f(x) dx > 2f(0)
提示：凸函数积分性质：积分大于中点函数值乘区间长度
步骤 3/3
目标：得出结论
因此 ∫_{-1}^{1} f(x) dx > -2，对应选项 (C)。
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