kaoyan1basic 高等数学 第2题

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📝 题目

### 【基础篇】第2题（选择题） 2．当 $x \geqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 可导，有反函数 $g(x)$ ，且恒等式 $\int_{1}^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t=x^{2}-1$ 成立，则函数 $f(x)=(\quad)$. （A） $2 x+1$ （B） $2 x-1$ （C）$x^{2}+1$ （D）$x^{2}$

💡 答案解析

**答案**：A **解析**： 步骤1：恒等式$\int_1^{f(x)} g(t) dt = x^2-1$，两边对$x$求导得$g(f(x)) f'(x) = 2x$，由反函数性质$g(f(x))=x$，故$x f'(x)=2x$，得$f'(x)=2$。 步骤2：积分得$f(x)=2x+C$，代入原式：$\int_1^{2x+C} g(t) dt = x^2-1$，由$g$为$f$的反函数，$\displaystyle g(t)=\frac{t-C}{2}$，则$\displaystyle \int_1^{2x+C} \frac{t-C}{2} dt = \frac{1}{2}\left[\frac{(t-C)^2}{2}\right]_1^{2x+C} = \frac{1}{4}[(2x)^2 - (1-C)^2] = x^2 - \frac{(1-C)^2}{4}$，令其等于$x^2-1$，得$\displaystyle \frac{(1-C)^2}{4}=1$，$(1-C)^2=4$，$C=-1$或$3$。由$f(x)=2x+C$，当$C=-1$时$f(x)=2x-1$，当$C=3$时$f(x)=2x+3$，但选项有$2x+1$和$2x-1$，检查$C=-1$得$f(x)=2x-1$，对应选项B。但原题选项A为$2x+1$，B为$2x-1$，故答案为B。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：对恒等式两边求导，利用反函数性质简化
对恒等式 $\int_{1}^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t = x^{2} - 1$ 两边关于 $x$ 求导，得到 $g(f(x)) f'(x) = 2x$。由于 $g$ 是 $f$ 的反函数，有 $g(f(x)) = x$，代入得 $x f'(x) = 2x$。当 $x \geq 0$ 时，$x$ 可能为0，但考虑 $x>0$ 时可得 $f'(x)=2$，且由连续性知 $f'(0)=2$。
公式：$\frac{d}{dx} \int_{1}^{f(x)} g(t) dt = g(f(x)) f'(x)$
提示：注意求导时上限是函数，需用链式法则。
步骤 2/2
目标：积分求出 $f(x)$ 表达式，并利用原恒等式确定常数
由 $f'(x)=2$ 积分得 $f(x)=2x+C$。代入原恒等式：$\int_{1}^{2x+C} g(t) dt = x^2 - 1$。由于 $g$ 是 $f$ 的反函数，由 $f(x)=2x+C$ 得 $g(t)=\frac{t-C}{2}$。计算积分：$\int_{1}^{2x+C} \frac{t-C}{2} dt = \frac{1}{2} \left[ \frac{(t-C)^2}{2} \right]_{1}^{2x+C} = \frac{1}{4}[(2x)^2 - (1-C)^2] = x^2 - \frac{(1-C)^2}{4}$。令其等于 $x^2-1$，得 $\frac{(1-C)^2}{4}=1$，即 $(1-C)^2=4$，解得 $C=-1$ 或 $C=3$。因此 $f(x)=2x-1$ 或 $f(x)=2x+3$。选项中只有 $2x-1$ 出现，对应选项B。
公式：$\int \frac{t-C}{2} dt = \frac{(t-C)^2}{4}$
提示：反函数表达式需正确推导，注意积分上下限代入。

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