kaoyan1basic 高等数学 第2题
📝 题目
### 【强化篇】第2题（解答题） 2．设函数 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上的连续函数，利用分部积分法证明：
$$ $\int_{0}^{1}\left[\int_{x^{2}}^{\sqrt{x}} f(t) \mathrm{d} t\right] \mathrm{d} x=\int_{0}^{1}\left(\sqrt{x}-x^{2}\right) f(x) \mathrm{d} x$ $$
💡 答案解析
**答案**：证明见解析。 **解析**： 步骤1：令$I=\int_0^1 \left[\int_{x^2}^{\sqrt{x}} f(t) dt\right] dx$，交换积分次序：积分区域为$x\in[0,1]$，$t\in[x^2,\sqrt{x}]$，即$t\in[0,1]$，$x\in[t^2,\sqrt{t}]$，故$I=\int_0^1 \left[\int_{t^2}^{\sqrt{t}} dx\right] f(t) dt = \int_0^1 (\sqrt{t}-t^2) f(t) dt$。 步骤2：将变量$t$换为$x$，即得$\int_0^1 \left[\int_{x^2}^{\sqrt{x}} f(t) dt\right] dx = \int_0^1 (\sqrt{x}-x^2) f(x) dx$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：交换积分次序
令 I = ∫₀¹ [∫_{x²}^{√x} f(t) dt] dx。积分区域：x∈[0,1]，t∈[x², √x]。画出区域，确定t的范围：t∈[0,1]，对于固定的t，x的范围：x∈[t², √t]。交换次序得 I = ∫₀¹ [∫_{t²}^{√t} dx] f(t) dt。
公式：∫₀¹ [∫_{x²}^{√x} f(t) dt] dx = ∫₀¹ [∫_{t²}^{√t} dx] f(t) dt
提示：注意交换次序时，要正确确定新的积分限。
步骤 2/3
目标：计算内层积分
计算内层积分 ∫_{t²}^{√t} dx = √t - t²。
公式：∫_{t²}^{√t} dx = √t - t²
步骤 3/3
目标：得到最终结果
代入得 I = ∫₀¹ (√t - t²) f(t) dt，将变量t换为x，即得 ∫₀¹ (√x - x²) f(x) dx。
公式：∫₀¹ (√x - x²) f(x) dx
提示：积分变量名称可任意替换。
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