kaoyan1basic 高等数学 第3题
📝 题目
### 【基础篇】第3题（解答题） 3．设 $S(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ，其中 $f(x)=|\arcsin (\sin x)|$ ． （1）写出 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的表达式； （2）计算 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{S(x)}{\sqrt{1+x^{2}}}$ ．
💡 答案解析
**答案**：（1）$\displaystyle f(x)=\begin{cases} x, & 0\le x\le \frac{\pi}{2} \\ \pi-x, & \frac{\pi}{2}
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：写出f(x)在[0,π]上的表达式
当0≤x≤π/2时，sin x∈[0,1]，arcsin(sin x)=x，故f(x)=|x|=x；当π/2
公式：f(x)=|arcsin(sin x)|
提示：注意arcsin(sin x)在[π/2,π]上的值为π-x，因为sin(π-x)=sin x且π-x∈[0,π/2]。
步骤 2/2
目标：计算极限lim_{x→+∞} S(x)/√(1+x²)
S(x)=∫_0^x f(t)dt。由于f(x)是周期为π的函数，每个周期内积分∫_0^π f(t)dt = ∫_0^{π/2} t dt + ∫_{π/2}^π (π-t) dt = [t²/2]_0^{π/2} + [πt - t²/2]_{π/2}^π = π²/8 + (π² - π²/2) - (π²/2 - π²/8) = π²/8 + π²/2 - π²/8 = π²/4。当x很大时，S(x) ~ (π²/4) * (x/π) = (π/4)x，因此S(x)/√(1+x²) ~ (π/4)x / x = π/4。故极限为π/4。
公式：∫_0^π f(t)dt = π²/4
提示：利用周期性，将S(x)近似为(π/4)x，再求极限。
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