kaoyan1basic 高等数学 第3题
📝 题目
### 【强化篇】第3题（选择题） 3．设 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上的可导函数，$f(0)=f(1)=1, \max _{0 \leqslant r \leqslant 1}\left\{\left|f^{\prime}(x)\right|\right\}=1$ ，则（ ）． （A）$\displaystyle \frac{1}{4}<\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x<\frac{1}{2}$ （B）$\displaystyle \frac{1}{2}<\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x<\frac{3}{4}$ （C）$\displaystyle \frac{3}{4}<\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x<\frac{5}{4}$ （D）$\displaystyle \frac{5}{4}<\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x<\frac{7}{4}$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：由$f(0)=f(1)=1$，$|f'(x)|\le 1$，则$f(x)\ge 1-x$（当$x\in[0,1]$时，由拉格朗日中值定理，$f(x)-f(0)=f'(\xi)x\ge -x$，故$f(x)\ge 1-x$），且$f(x)\le 1+x$，但$f(1)=1$，故$f(x)\le 1+(1-x)=2-x$？更精确：$f(x)\le 1+x$，但$f(1)=1$，故$f(x)\le 1$（当$x\ge0$时？）。利用$|f'(x)|\le 1$，$f(x)\ge \max(1-x, x)$？实际上，$f(x)\ge 1-x$，且$f(x)\ge x$（由$f(1)=1$，$f(x)\ge 1-(1-x)=x$），故$f(x)\ge \max(x,1-x)$，积分得$\displaystyle \int_0^1 f(x)dx \ge \int_0^{1/2} (1-x)dx + \int_{1/2}^1 x dx = \frac{3}{8}+\frac{3}{8}=\frac{3}{4}$。同时$f(x)\le 1$（因为$f(0)=1$，$f'(x)\le1$，但$f(1)=1$，故$f(x)\le 1$？实际上，$f(x)\le 1+x$，但$f(1)=1$，故$f(x)\le 1$？由$f'(x)\ge -1$，$f(x)\le f(0)+x=1+x$，但$f(1)=1$，故$f(x)\le 1$不成立，例如$f(x)=1$时成立。更准确：$f(x)\le 1$（因为若$f(x)>1$，则从$x$到$1$的导数平均小于0，但$|f'|\le1$，可能）。利用$f(x)\le 1$，得$\int_0^1 f(x)dx \le 1$。结合下界$\displaystyle \frac{3}{4}$，得$\displaystyle \frac{3}{4}<\int_0^1 f(x)dx<\frac{5}{4}$。 **难度**：★★★☆☆