kaoyan1basic 高等数学 第4题
📝 题目
### 【基础篇】第4题（解答题） 4．设 $f(x)$ 连续，证明： $\int_{0}^{x}\left[\int_{0}^{t} f(u) \mathrm{d} u\right] \mathrm{d} t=\int_{0}^{x} f(t)(x-t) \mathrm{d} t$ ．
💡 答案解析
**答案**：证明见解析。 **解析**： 步骤1：令$F(x)=\int_0^x \left[\int_0^t f(u) du\right] dt$，$G(x)=\int_0^x f(t)(x-t) dt$，则$F(0)=G(0)=0$。 步骤2：$F'(x)=\int_0^x f(u) du$，$G'(x)=\int_0^x f(t) dt + x f(x) - x f(x) = \int_0^x f(t) dt$，故$F'(x)=G'(x)$，所以$F(x)=G(x)$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：构造辅助函数并验证初始值相等
令 $F(x)=\int_0^x \left[\int_0^t f(u) du\right] dt$，$G(x)=\int_0^x f(t)(x-t) dt$，则 $F(0)=G(0)=0$。
提示：利用定积分定义，当积分上限为0时，积分值为0。
步骤 2/3
目标：求导并证明导数相等
对 $F(x)$ 求导得 $F'(x)=\int_0^x f(u) du$；对 $G(x)$ 求导得 $G'(x)=\int_0^x f(t) dt + x f(x) - x f(x) = \int_0^x f(t) dt$，故 $F'(x)=G'(x)$。
公式：$\frac{d}{dx}\int_0^x g(t) dt = g(x)$，$\frac{d}{dx}\int_0^x f(t)(x-t) dt = \int_0^x f(t) dt + x f(x) - x f(x)$
提示：注意 $G(x)$ 是含参变量积分，求导时需使用莱布尼茨法则。
步骤 3/3
目标：由导数相等推出函数相等
由于 $F'(x)=G'(x)$，且 $F(0)=G(0)$，所以 $F(x)=G(x)$，即原等式成立。
提示：若两个函数导数相等且在某点函数值相等，则它们恒等。
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