kaoyan1basic 高等数学 第4题
📝 题目
### 【强化篇】第4题（解答题） 4．证明： $\displaystyle \int_{0}^{1}\left(\int_{x}^{\sqrt{x}} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t\right) \mathrm{d} x=1-\sin 1$ ．
💡 答案解析
**答案**：证明见解析。 **解析**： 步骤1：交换积分次序：积分区域$x\in[0,1]$，$t\in[x,\sqrt{x}]$，即$t\in[0,1]$，$x\in[t^2, t]$，故原式$\displaystyle =\int_0^1 \left[\int_{t^2}^t dx\right] \frac{\sin t}{t} dt = \int_0^1 (t-t^2) \frac{\sin t}{t} dt = \int_0^1 (1-t) \sin t dt$。 步骤2：计算$\int_0^1 (1-t) \sin t dt = \left[-(1-t)\cos t\right]_0^1 - \int_0^1 \cos t dt = (0+1) - [\sin t]_0^1 = 1 - \sin 1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：交换积分次序
积分区域由 x∈[0,1], t∈[x,√x] 描述，等价于 t∈[0,1], x∈[t², t]。交换积分次序得原式 = ∫₀¹ [∫_{t²}^{t} dx] (sin t)/t dt = ∫₀¹ (t - t²) (sin t)/t dt = ∫₀¹ (1 - t) sin t dt。
公式：∫₀¹ dx ∫_{x}^{√x} f(t) dt = ∫₀¹ dt ∫_{t²}^{t} f(t) dx
提示：注意积分区域边界曲线为 y=x 和 y=√x，确定 t 的范围时，t 从 0 到 1，x 从下边界 t² 到上边界 t。
步骤 2/2
目标：计算定积分 ∫₀¹ (1-t) sin t dt
使用分部积分法：令 u=1-t, dv=sin t dt，则 du=-dt, v=-cos t。∫₀¹ (1-t) sin t dt = [-(1-t) cos t]₀¹ - ∫₀¹ cos t dt = (0+1) - [sin t]₀¹ = 1 - sin 1。
公式：∫ u dv = uv - ∫ v du
提示：分部积分时注意符号，代入上下限时小心计算。
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