kaoyan1basic 高等数学 第5题
📝 题目
### 【基础篇】第5题（解答题） 5．设 $f(x), g(x)$ 连续，$x \in[a, b]$ ，证明至少存在一点 $\xi \in(a, b)$ ，使
$$ f(\xi) \int_{\xi}^{b} g(x) \mathrm{d} x=g(\xi) \int_{a}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x $$
💡 答案解析
**答案**：证明见解析。 **解析**： 步骤1：令$F(x)=\left(\int_a^x f(t) dt\right) \left(\int_x^b g(t) dt\right)$，则$F(a)=0$，$F(b)=0$，由罗尔定理，存在$\xi\in(a,b)$使$F'(\xi)=0$。 步骤2：$F'(x)=f(x) \int_x^b g(t) dt - g(x) \int_a^x f(t) dt$，故$F'(\xi)=0$即$f(\xi) \int_\xi^b g(t) dt = g(\xi) \int_a^\xi f(t) dt$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：构造辅助函数，应用罗尔定理
令 $F(x) = \left(\int_a^x f(t) dt\right) \left(\int_x^b g(t) dt\right)$，则 $F(a)=0$，$F(b)=0$。由罗尔定理，存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $F'(\xi)=0$。
公式：$F(x) = \left(\int_a^x f(t) dt\right) \left(\int_x^b g(t) dt\right)$
提示：注意 $F(a)$ 和 $F(b)$ 均为0，满足罗尔定理条件。
步骤 2/2
目标：求导并得到结论
计算 $F'(x) = f(x) \int_x^b g(t) dt - g(x) \int_a^x f(t) dt$。由 $F'(\xi)=0$ 得 $f(\xi) \int_\xi^b g(t) dt = g(\xi) \int_a^\xi f(t) dt$。
公式：$F'(x) = f(x) \int_x^b g(t) dt - g(x) \int_a^x f(t) dt$
提示：求导时注意乘积法则和变上限积分求导。
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