kaoyan1basic 高等数学 第5题
📝 题目
### 【强化篇】第5题（解答题） 5．设函数 $f(x), g(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，对任意的 $x \in[a, b]$ ，满足 $\int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t \leqslant \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ，且 $\int_{a}^{b} g(t) \mathrm{d} t=\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t$ ．证明： $\int_{a}^{b} x f(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b} x g(x) \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
**答案**：见解析 **解析**： 步骤1：令 $F(x)=\int_a^x f(t)dt$，$G(x)=\int_a^x g(t)dt$，由条件知 $G(x)\le F(x)$ 且 $G(b)=F(b)$。 步骤2：考虑积分 $\int_a^b x[f(x)-g(x)]dx$，利用分部积分： $$\int_a^b x[f(x)-g(x)]dx = \int_a^b x d[F(x)-G(x)] = \left. x[F(x)-G(x)]\right|_a^b - \int_a^b [F(x)-G(x)]dx.$$ 步骤3：由 $F(b)=G(b)$ 得 $x[F(x)-G(x)]|_a^b=0$，且 $F(x)-G(x)\ge 0$，故 $-\int_a^b [F(x)-G(x)]dx\le 0$。 步骤4：因此 $\int_a^b x f(x)dx \le \int_a^b x g(x)dx$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：构造辅助函数
令 $F(x)=\int_a^x f(t)dt$，$G(x)=\int_a^x g(t)dt$，由条件知 $G(x)\le F(x)$ 且 $G(b)=F(b)$。
提示：利用积分上限函数将条件转化为函数不等式。
步骤 2/4
目标：利用分部积分转化待证不等式
考虑积分 $\int_a^b x[f(x)-g(x)]dx$，利用分部积分：
$$\int_a^b x[f(x)-g(x)]dx = \int_a^b x d[F(x)-G(x)] = \left. x[F(x)-G(x)]\right|_a^b - \int_a^b [F(x)-G(x)]dx.$$
公式：分部积分公式：$\int u dv = uv - \int v du$
提示：注意 $f(x)-g(x) = (F(x)-G(x))'$。
步骤 3/4
目标：利用边界条件化简
由 $F(b)=G(b)$ 得 $x[F(x)-G(x)]|_a^b = b[F(b)-G(b)] - a[F(a)-G(a)] = 0 - 0 = 0$，且 $F(x)-G(x)\ge 0$，故 $-\int_a^b [F(x)-G(x)]dx \le 0$。
提示：注意 $F(a)=G(a)=0$。
步骤 4/4
目标：得出结论
因此 $\int_a^b x f(x)dx - \int_a^b x g(x)dx \le 0$，即 $\int_a^b x f(x)dx \le \int_a^b x g(x)dx$。
提示：移项即得所需不等式。
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