kaoyan1basic 高等数学 第6题
📝 题目
### 【基础篇】第6题（解答题） 6．证明： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{4}}=\int_{0}^{+\infty} \frac{x^{2}}{1+x^{4}} \mathrm{~d} x=\frac{\sqrt{2}}{4} \pi$ ．
💡 答案解析
**答案**：见解析 **解析**： 步骤1：令 $\displaystyle I=\int_0^{+\infty}\frac{dx}{1+x^4}$，作代换 $\displaystyle x=\frac{1}{t}$，则 $\displaystyle dx=-\frac{1}{t^2}dt$，得 $$I=\int_{+\infty}^0 \frac{1}{1+1/t^4}\cdot\left(-\frac{1}{t^2}\right)dt = \int_0^{+\infty}\frac{t^2}{1+t^4}dt = \int_0^{+\infty}\frac{x^2}{1+x^4}dx.$$ 步骤2：计算 $I$： $$2I = \int_0^{+\infty}\frac{1+x^2}{1+x^4}dx = \int_0^{+\infty}\frac{1+1/x^2}{x^2+1/x^2}dx = \int_0^{+\infty}\frac{d(x-1/x)}{(x-1/x)^2+2} = \left.\frac{1}{\sqrt2}\arctan\frac{x-1/x}{\sqrt2}\right|_{-\infty}^{+\infty} = \frac{\pi}{\sqrt2}.$$ 步骤3：故 $\displaystyle I=\frac{\pi}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{4}\pi$。 **难度**：★★★☆☆