kaoyan1basic 高等数学 第6题
📝 题目
### 【强化篇】第6题（解答题） 6．设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导，且 $f^{\prime}(x)$ 连续，$f(a)=0$ ．证明：
$$ $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \leqslant \frac{(b-a)^{2}}{2} \int_{a}^{b}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x$ $$
💡 答案解析
**答案**：见解析 **解析**： 步骤1：由 $f(a)=0$，对任意 $x\in[a,b]$，有 $f(x)=\int_a^x f'(t)dt$。 步骤2：由柯西-施瓦茨不等式， $$f^2(x) \le \left(\int_a^x 1^2 dt\right)\left(\int_a^x [f'(t)]^2 dt\right) \le (x-a)\int_a^b [f'(t)]^2 dt.$$ 步骤3：两边在 $[a,b]$ 上积分， $$\int_a^b f^2(x)dx \le \int_a^b (x-a)dx \cdot \int_a^b [f'(t)]^2 dt = \frac{(b-a)^2}{2}\int_a^b [f'(x)]^2 dx.$$ **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将f(x)表示为f'(t)的积分形式
由f(a)=0，对任意x∈[a,b]，有f(x)=∫_a^x f'(t)dt。
公式：f(x)=∫_a^x f'(t)dt
提示：利用f(a)=0和微积分基本定理。
步骤 2/3
目标：应用柯西-施瓦茨不等式得到f^2(x)的上界
由柯西-施瓦茨不等式，f^2(x) ≤ (∫_a^x 1^2 dt)(∫_a^x [f'(t)]^2 dt) ≤ (x-a)∫_a^b [f'(t)]^2 dt。
公式：f^2(x) ≤ (x-a)∫_a^b [f'(t)]^2 dt
提示：注意将积分上限x放宽到b，以便后续积分。
步骤 3/3
目标：两边积分并计算
两边在[a,b]上积分，得∫_a^b f^2(x)dx ≤ ∫_a^b (x-a)dx · ∫_a^b [f'(t)]^2 dt = (b-a)^2/2 ∫_a^b [f'(x)]^2 dx。
公式：∫_a^b f^2(x)dx ≤ (b-a)^2/2 ∫_a^b [f'(x)]^2 dx
提示：计算∫_a^b (x-a)dx = (b-a)^2/2。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。