kaoyan1basic 高等数学 第7题
📝 题目
### 【基础篇】第7题（选择题） 7．已知函数 $f(x), g(x)$ 可导，且 $f^{\prime}(x)>0, g^{\prime}(x)<0$ ，则（ ）． （A） $\int_{-1}^{0} f(x) g(x) \mathrm{d} x>\int_{0}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ （B） $\int_{-1}^{0}|f(x) g(x)| \mathrm{d} x>\int_{0}^{1}|f(x) g(x)| \mathrm{d} x$ （C） $\int_{-1}^{0} f[g(x)] \mathrm{d} x>\int_{0}^{1} f[g(x)] \mathrm{d} x$ （D） $\int_{-1}^{0} f[f(x)] \mathrm{d} x>\int_{0}^{1} g[g(x)] \mathrm{d} x$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：由 $f'(x)>0$ 知 $f$ 严格增，由 $g'(x)<0$ 知 $g$ 严格减。 步骤2：考虑复合函数 $f[g(x)]$，由于 $g$ 减，$f$ 增，故 $f[g(x)]$ 减。 步骤3：对减函数，区间长度相同时，左半区间积分大于右半区间积分，即 $\int_{-1}^0 f[g(x)]dx > \int_0^1 f[g(x)]dx$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析函数单调性
由 f'(x)>0 知 f(x) 严格单调递增；由 g'(x)<0 知 g(x) 严格单调递减。
提示：导数符号决定单调性：f'>0 增，f'<0 减。
步骤 2/3
目标：分析复合函数 f[g(x)] 的单调性
由于 g(x) 递减，f(x) 递增，复合函数 f[g(x)] 为递减函数（减函数复合增函数得减函数）。
提示：复合函数单调性：内外函数单调性相反时复合函数递减。
步骤 3/3
目标：比较积分大小
对于递减函数，在长度相同的区间上，左半区间的函数值大于右半区间，因此积分 ∫_{-1}^0 f[g(x)]dx > ∫_0^1 f[g(x)]dx。
提示：递减函数在左区间积分大于右区间。
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