kaoyan1basic 高等数学 第7题
📝 题目
### 【强化篇】第7题（解答题） 7．设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $\int_{0}^{1} x^{2} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ． 证明：至少存在一点 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $\int_{0}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．
💡 答案解析
**答案**：见解析 **解析**： 步骤1：令 $F(x)=\int_0^x f(t)dt$，则 $F(0)=0$，且条件化为 $\int_0^1 x^2 dF(x) = \int_0^1 dF(x)$。 步骤2：分部积分得 $\left.x^2 F(x)\right|_0^1 - 2\int_0^1 xF(x)dx = F(1)$，即 $F(1)-2\int_0^1 xF(x)dx = F(1)$，故 $\int_0^1 xF(x)dx=0$。 步骤3：由积分中值定理，存在 $\xi\in(0,1)$ 使 $\xi F(\xi)=0$，即 $F(\xi)=0$，故 $\int_0^\xi f(x)dx=0$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：构造辅助函数并转化条件
令 $F(x)=\int_0^x f(t)dt$，则 $F(0)=0$，且条件化为 $\int_0^1 x^2 dF(x) = \int_0^1 dF(x)$。
公式：$F(x)=\int_0^x f(t)dt$
提示：注意 $f(x)$ 连续，故 $F(x)$ 可导，且 $dF(x)=f(x)dx$。
步骤 2/3
目标：分部积分化简等式
对 $\int_0^1 x^2 dF(x)$ 分部积分：$\left.x^2 F(x)\right|_0^1 - 2\int_0^1 xF(x)dx = F(1)-2\int_0^1 xF(x)dx$。原等式变为 $F(1)-2\int_0^1 xF(x)dx = F(1)$，故 $\int_0^1 xF(x)dx=0$。
公式：$\int_a^b u dv = uv|_a^b - \int_a^b v du$
提示：分部积分时取 $u=x^2$, $dv=dF(x)$。
步骤 3/3
目标：应用积分中值定理得出结论
由积分中值定理，存在 $\xi\in(0,1)$ 使得 $\xi F(\xi)=0$，即 $F(\xi)=0$，故 $\int_0^\xi f(x)dx=0$。
公式：积分中值定理：$\int_a^b g(x)h(x)dx = g(\eta)\int_a^b h(x)dx$
提示：这里取 $g(x)=x$, $h(x)=F(x)$，注意 $F(x)$ 连续。
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