kaoyan1basic 高等数学 第8题
📝 题目
### 【基础篇】第8题（选择题） 8．设 $f(x), g(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，则使得 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \int_{0}^{1} g(x) \mathrm{d} x \geqslant \int_{0}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ 成立的条件是在 ［ 0,1 ］上（ ）。公众号：研池大叔 免费分享最新考研资料课程 （A）$f(x), g(x)$ 均为增函数 （B）$f(x), g(x)$ 均为减函数 （C）$f(x)$ 为减函数，$g(x)$ 为增函数 （D）$f(x)$ 为奇函数，$g(x)$ 为偶函数
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：由切比雪夫不等式，若 $f$ 与 $g$ 单调性相反，则 $\int_0^1 f(x)g(x)dx \le \int_0^1 f(x)dx \int_0^1 g(x)dx$。 步骤2：$f$ 减、$g$ 增时单调性相反，不等式成立。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：识别题目类型与已知条件
题目给出f(x)和g(x)在[0,1]上连续，要求判断使不等式∫₀¹f(x)dx·∫₀¹g(x)dx ≥ ∫₀¹f(x)g(x)dx成立的条件。已知选项涉及单调性和奇偶性。
提示：注意不等式方向，联想到切比雪夫不等式。
步骤 2/3
目标：应用切比雪夫不等式
切比雪夫不等式：若f和g在[a,b]上单调性相同，则(1/(b-a))∫f(x)g(x)dx ≥ (1/(b-a))∫f(x)dx·(1/(b-a))∫g(x)dx；若单调性相反，则不等式反向。本题不等式为∫f·∫g ≥ ∫fg，即平均值的乘积≥乘积的平均值，对应单调性相反的情况。
公式：若f与g单调性相反，则∫₀¹f(x)g(x)dx ≤ ∫₀¹f(x)dx·∫₀¹g(x)dx
提示：注意切比雪夫不等式要求函数单调，且不等式方向取决于单调性是否相同。
步骤 3/3
目标：判断选项
选项A：均为增函数（单调性相同），不等式反向，不成立。选项B：均为减函数（单调性相同），不成立。选项C：f减、g增（单调性相反），不等式成立。选项D：奇偶性不保证单调性，不一定成立。
提示：单调性相反包括一增一减或一减一增。
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