kaoyan1basic 高等数学 第8题
📝 题目
### 【强化篇】第8题（解答题） 8．设 $y=f(x)$ 是可导的单调函数，$f(a)=0, g(x)$ 是 $f(x)$ 的反函数．证明：
$$ $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t+\int_{0}^{y} g(t) \mathrm{d} t=x y .$ $$
💡 答案解析
**答案**：见解析 **解析**： 步骤1：由 $y=f(x)$ 单调可导，$f(a)=0$，反函数 $g(y)=x$，满足 $f(g(y))=y$，$g(f(x))=x$。 步骤2：考虑函数 $H(x)=\int_a^x f(t)dt + \int_0^{f(x)} g(t)dt - x f(x)$，求导得 $$H'(x)=f(x)+g(f(x))f'(x)-f(x)-x f'(x)=f(x)+x f'(x)-f(x)-x f'(x)=0.$$ 步骤3：故 $H(x)$ 为常数，又 $H(a)=0+0-0=0$，所以 $H(x)=0$，即原式成立。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件与符号含义
由题意，$y=f(x)$ 是可导的单调函数，$f(a)=0$，$g(x)$ 是 $f(x)$ 的反函数。因此 $g(y)=x$，且满足 $f(g(y))=y$，$g(f(x))=x$。
公式：$f(g(y))=y$, $g(f(x))=x$
提示：注意反函数的定义：若 $y=f(x)$，则 $x=g(y)$。
步骤 2/5
目标：构造辅助函数 $H(x)$
考虑函数 $H(x)=\int_a^x f(t)dt + \int_0^{f(x)} g(t)dt - x f(x)$。目标是证明 $H(x)=0$。
公式：$H(x)=\int_a^x f(t)dt + \int_0^{f(x)} g(t)dt - x f(x)$
提示：辅助函数的构造思路：将待证等式移项，令左边减右边。
步骤 3/5
目标：对 $H(x)$ 求导
对 $H(x)$ 求导，利用微积分基本定理和链式法则：$H'(x)=f(x) + g(f(x)) f'(x) - f(x) - x f'(x)$。由于 $g(f(x))=x$，代入得 $H'(x)=f(x)+x f'(x)-f(x)-x f'(x)=0$。
公式：$H'(x)=f(x)+g(f(x))f'(x)-f(x)-x f'(x)=0$
提示：注意对变上限积分求导：$\frac{d}{dx}\int_0^{f(x)} g(t)dt = g(f(x)) f'(x)$。
步骤 4/5
目标：确定 $H(x)$ 为常数并求值
由 $H'(x)=0$ 知 $H(x)$ 为常数。代入 $x=a$，此时 $f(a)=0$，得 $H(a)=\int_a^a f(t)dt + \int_0^0 g(t)dt - a\cdot 0 = 0$。因此 $H(x)=0$ 恒成立。
公式：$H(a)=0$
提示：常数函数的值由任意一点确定，通常选择使计算简单的点。
步骤 5/5
目标：得出结论
由 $H(x)=0$ 即得 $\int_a^x f(t)dt + \int_0^{f(x)} g(t)dt = x f(x)$，注意到 $y=f(x)$，故原式成立。
公式：$\int_a^x f(t)dt + \int_0^y g(t)dt = xy$
提示：将 $f(x)$ 换回 $y$ 即得原等式。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。