kaoyan1basic 高等数学 第9题
📝 题目
### 【基础篇】第9题（解答题） 9．设 $f^{\prime}(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$f(a)=f(b)=0$ ，证明：当 $x \in(a, b)$ 时，$|f(x)| \leqslant$ $\displaystyle \frac{1}{2} \int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x$.
💡 答案解析
**答案**：见解析 **解析**： 步骤1：对任意 $x\in(a,b)$，由 $f(a)=f(b)=0$，有 $$f(x)=\int_a^x f'(t)dt = -\int_x^b f'(t)dt.$$ 步骤2：取绝对值并利用三角不等式， $$|f(x)| \le \int_a^x |f'(t)|dt, \quad |f(x)| \le \int_x^b |f'(t)|dt.$$ 步骤3：两式相加得 $2|f(x)| \le \int_a^b |f'(t)|dt$，故 $\displaystyle |f(x)| \le \frac12\int_a^b |f'(x)|dx$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用积分表示f(x)
对任意 x∈(a,b)，由 f(a)=f(b)=0，有 f(x)=∫_a^x f'(t)dt = -∫_x^b f'(t)dt。
公式：f(x)=∫_a^x f'(t)dt = -∫_x^b f'(t)dt
提示：注意 f(a)=0 和 f(b)=0 分别用于两个方向的积分表示。
步骤 2/3
目标：取绝对值并放缩
取绝对值并利用三角不等式，得 |f(x)| ≤ ∫_a^x |f'(t)|dt 和 |f(x)| ≤ ∫_x^b |f'(t)|dt。
公式：|f(x)| ≤ ∫_a^x |f'(t)|dt, |f(x)| ≤ ∫_x^b |f'(t)|dt
提示：绝对值不等式：|∫ g| ≤ ∫ |g|。
步骤 3/3
目标：合并不等式得到结论
两式相加得 2|f(x)| ≤ ∫_a^b |f'(t)|dt，故 |f(x)| ≤ 1/2 ∫_a^b |f'(x)|dx。
公式：2|f(x)| ≤ ∫_a^b |f'(t)|dt ⇒ |f(x)| ≤ 1/2 ∫_a^b |f'(x)|dx
提示：注意积分变量可任意命名，最后写成 f'(x) 是习惯。
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