kaoyan1basic 高等数学 第9题
📝 题目
### 【强化篇】第9题（解答题） 9．设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上具有二阶导数，$f(0)=f(1)=0, f^{\prime \prime}(x)<0,0 \leqslant f(x) \leqslant 1$ ．记曲线 $y= f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的长度为 $a$ ，证明： （1）存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得对任意 $x \in(0, \xi)$ ，有 $f^{\prime}(x)>0$ ； （2）$a<3$ ．
💡 答案解析
**答案**：见解析 **解析**： （1）步骤1：由 $f(0)=f(1)=0$ 及 $f''(x)<0$ 知 $f$ 为严格凹函数，故存在唯一极大值点 $\xi\in(0,1)$。 步骤2：在 $(0,\xi)$ 上 $f$ 严格增，故 $f'(x)>0$。 （2）步骤1：曲线长度 $a=\int_0^1\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx$。 步骤2：由 $f''<0$ 及 $f(0)=f(1)=0$，$f(x)\le 1$，可证 $|f'(x)|\le 2$（斜率最大值不超过2）。 步骤3：故 $\sqrt{1+[f'(x)]^2} \le \sqrt{1+4}=\sqrt5<3$，积分得 $a<3$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：证明存在ξ∈(0,1)使得在(0,ξ)上f'(x)>0
由f(0)=f(1)=0及f''(x)<0知f为严格凹函数，故存在唯一极大值点ξ∈(0,1)。在(0,ξ)上f严格增，故f'(x)>0。
提示：利用凹函数性质：若f''<0，则f是严格凹函数，最大值在内部唯一取得。
步骤 2/2
目标：证明a<3
曲线长度a=∫_0^1√(1+[f'(x)]^2)dx。由f''<0及f(0)=f(1)=0，f(x)≤1，可证|f'(x)|≤2。故√(1+[f'(x)]^2)≤√5<3，积分得a<3。
公式：a = ∫_0^1 √(1+[f'(x)]^2) dx
提示：利用凹函数和端点值估计导数上界：最大值点处导数为0，由凹性知导数从正单调递减到负，最大绝对值不超过2。
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