kaoyan1basic 高等数学 第11题
📝 题目
### 【基础篇】第11题（解答题） 11．设 $f(x)=\int_{x}^{x+1} \sin u^{2} \mathrm{~d} u$ ，证明：当 $x>0$ 时，有 $\displaystyle |f(x)| \leqslant \frac{1}{x}$ ．
## 第12章 一元函数积分学的应用（三）——物理应用
💡 答案解析
**答案**：见解析 **解析**： 步骤1：令 $u^2=t$，则 $u=\sqrt{t}$，$\displaystyle du=\frac{dt}{2\sqrt{t}}$，得 $$f(x)=\int_{x^2}^{(x+1)^2} \frac{\sin t}{2\sqrt{t}} dt.$$ 步骤2：由积分第二中值定理，存在 $\xi\in[x^2,(x+1)^2]$ 使 $$|f(x)| = \left|\frac{1}{2\sqrt{\xi}}\int_{x^2}^{(x+1)^2}\sin t dt\right| \le \frac{1}{2\sqrt{x^2}} \cdot 2 = \frac{1}{x}.$$ **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：通过变量代换简化积分形式
令 $u^2=t$，则 $u=\sqrt{t}$，$\mathrm{d}u=\frac{\mathrm{d}t}{2\sqrt{t}}$，当 $u=x$ 时 $t=x^2$，当 $u=x+1$ 时 $t=(x+1)^2$，于是 $f(x)=\int_{x}^{x+1}\sin u^2\mathrm{d}u=\int_{x^2}^{(x+1)^2}\frac{\sin t}{2\sqrt{t}}\mathrm{d}t$。
公式：$f(x)=\int_{x^2}^{(x+1)^2}\frac{\sin t}{2\sqrt{t}}\mathrm{d}t$
提示：注意积分限的变换，以及 $\mathrm{d}u$ 与 $\mathrm{d}t$ 的关系。
步骤 2/3
目标：应用积分第二中值定理估计绝对值
由积分第二中值定理，存在 $\xi\in[x^2,(x+1)^2]$ 使得 $f(x)=\frac{1}{2\sqrt{\xi}}\int_{x^2}^{(x+1)^2}\sin t\mathrm{d}t$。于是 $|f(x)|=\left|\frac{1}{2\sqrt{\xi}}\int_{x^2}^{(x+1)^2}\sin t\mathrm{d}t\right|\le\frac{1}{2\sqrt{x^2}}\cdot\left|\int_{x^2}^{(x+1)^2}\sin t\mathrm{d}t\right|$。
公式：$|f(x)|\le\frac{1}{2x}\left|\int_{x^2}^{(x+1)^2}\sin t\mathrm{d}t\right|$
提示：注意 $\xi\ge x^2$，所以 $\frac{1}{\sqrt{\xi}}\le\frac{1}{x}$。
步骤 3/3
目标：计算积分绝对值并完成证明
计算 $\left|\int_{x^2}^{(x+1)^2}\sin t\mathrm{d}t\right|=\left|\cos x^2-\cos(x+1)^2\right|\le 2$。因此 $|f(x)|\le\frac{1}{2x}\cdot 2=\frac{1}{x}$。
公式：$|f(x)|\le\frac{1}{x}$
提示：利用余弦函数的有界性得到绝对值不超过2。
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