kaoyan1basic 高等数学 第1题
📝 题目
### 【基础篇】第1题（填空题） 1．设沿 $y$ 轴上的区间 $[0,1]$ 放置一长度为 1 且线密度为 $\rho$ 的均匀细杆，在 $x$ 轴上 $x=1$ 处有一单位质点，则该细杆对此质点的引力（ $G$ 为引力常量）沿 $x$ 轴正向的分力为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle G\rho\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right)$ **解析**： 步骤1：取 $y\in[0,1]$，微元 $dy$ 对应质量 $\rho dy$，与质点 $(1,0)$ 距离 $\sqrt{1+y^2}$，引力微元 $\displaystyle dF=G\frac{\rho dy}{1+y^2}$。 步骤2：沿 $x$ 轴正向分力 $\displaystyle dF_x = dF \cdot \frac{1}{\sqrt{1+y^2}} = G\rho \frac{dy}{(1+y^2)^{3/2}}$。 步骤3：积分得 $\displaystyle F_x = G\rho\int_0^1 \frac{dy}{(1+y^2)^{3/2}}$，令 $y=\tan\theta$，得 $$F_x = G\rho\int_0^{\pi/4} \cos\theta d\theta = G\rho \sin\theta\big|_0^{\pi/4} = G\rho\cdot\frac{\sqrt2}{2}.$$ **答案修正**：正确结果为 $\displaystyle G\rho\cdot\frac{\sqrt2}{2}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：建立坐标系并取微元
沿y轴区间[0,1]放置均匀细杆，线密度ρ。在x轴上x=1处有一单位质点。取y∈[0,1]，微元dy对应质量ρ dy，与质点(1,0)距离√(1+y²)。
公式：dF = G * (ρ dy) / (1+y²)
提示：注意引力公式中的距离平方
步骤 2/3
目标：计算x轴正向分力微元
引力方向沿质点与微元连线，x轴正向分力为dF乘以方向余弦：dF_x = dF * (1/√(1+y²)) = Gρ dy / (1+y²)^(3/2)。
公式：dF_x = Gρ dy / (1+y²)^(3/2)
提示：方向余弦为邻边/斜边
步骤 3/3
目标：积分求总引力
对y从0到1积分：F_x = Gρ ∫₀¹ dy/(1+y²)^(3/2)。令y=tanθ，则dy=sec²θ dθ，1+y²=sec²θ，积分限θ从0到π/4。积分化为∫₀^(π/4) cosθ dθ = sinθ|₀^(π/4)=√2/2。
公式：F_x = Gρ * √2/2
提示：三角换元简化积分
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