kaoyan1basic 高等数学 第2题
📝 题目
### 【基础篇】第2题（填空题） 2．边长为 $a$ 的正方形平板置于水面下，且一个顶点与水面相齐，其中一条对角线与水面垂直，如图所示．记水的密度为 $\rho$ ，重力加速度为 $g$ ，则其一侧所受的静水压力为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\sqrt2}{3}\rho g a^3$ **解析**： 步骤1：建立坐标系，水面为 $y=0$，正方形对角线沿 $y$ 轴，顶点在原点，则正方形边界为 $\displaystyle |x| = \frac{a}{\sqrt2} - y$，$\displaystyle y\in[0,\frac{a}{\sqrt2}]$。 步骤2：深度 $h=y$，压力微元 $\displaystyle dF = \rho g y \cdot 2\left(\frac{a}{\sqrt2}-y\right) dy$。 步骤3：积分得 $\displaystyle F = 2\rho g \int_0^{a/\sqrt2} y\left(\frac{a}{\sqrt2}-y\right)dy = 2\rho g \left(\frac{a}{2\sqrt2}\cdot\frac{a^2}{2} - \frac{1}{3}\cdot\frac{a^3}{2\sqrt2}\right) = \frac{\sqrt2}{3}\rho g a^3$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：建立坐标系，确定正方形平板在水下的位置和边界方程。
以水面为y=0，正方形的一个顶点位于原点，对角线沿y轴垂直向下。由于正方形边长为a，对角线长为√2 a，因此正方形在y轴上的范围为0到a/√2。正方形边界由直线|x| = a/√2 - y给出，其中y∈[0, a/√2]。
公式：|x| = a/√2 - y
提示：注意正方形的对称性，只需考虑一侧然后乘以2。
步骤 2/3
目标：写出压力微元表达式。
在深度y处，压强为ρgy。取水平宽度为2(a/√2 - y)，高度为dy的微元，则压力微元dF = ρgy * 2(a/√2 - y) dy。
公式：dF = 2ρgy (a/√2 - y) dy
提示：压力微元是压强乘以面积微元。
步骤 3/3
目标：积分计算总压力。
对y从0到a/√2积分：F = ∫₀^{a/√2} 2ρgy (a/√2 - y) dy = 2ρg ∫₀^{a/√2} ( (a/√2) y - y² ) dy。计算积分：∫₀^{a/√2} y dy = (1/2)(a/√2)² = a²/(4)，∫₀^{a/√2} y² dy = (1/3)(a/√2)³ = a³/(6√2)。代入得F = 2ρg [ (a/√2)*(a²/4) - a³/(6√2) ] = 2ρg [ a³/(4√2) - a³/(6√2) ] = 2ρg * a³/(12√2) = ρg a³/(6√2) = (√2/3)ρg a³。
公式：F = 2ρg ∫₀^{a/√2} y (a/√2 - y) dy = (√2/3)ρg a³
提示：积分时注意上下限和系数，最后化简得到结果。
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