kaoyan1basic 高等数学 第2题
📝 题目
### 【强化篇】第2题（解答题） 2．边长为 2 的等边三角形薄平板铅直沉没在水中，且一条边与水面相齐。记重力加速度为 $g$ ，水的密度为 $p$ 。 （1）求该平板一侧所受的水压力； （2）当水面开始以 0.1 的速度上涨时，求平板一侧所受水压力的变化率．
💡 答案解析
**答案**：见解析 **解析**： （1）步骤1：等边三角形边长2，高 $\sqrt3$，建立坐标系，水面为 $y=0$，三角形顶点在 $(0,0)$，底边在 $y=\sqrt3$ 处，宽度 $\displaystyle w(y)=\frac{2}{\sqrt3}(\sqrt3-y)$。 步骤2：深度 $h=y$，压力微元 $\displaystyle dF = \rho g y \cdot \frac{2}{\sqrt3}(\sqrt3-y) dy$。 步骤3：积分得 $\displaystyle F = \frac{2\rho g}{\sqrt3}\int_0^{\sqrt3} y(\sqrt3-y)dy = \frac{2\rho g}{\sqrt3}\left(\frac{3}{2} - 1\right) = \frac{\rho g}{\sqrt3}$。 （2）步骤1：水面上涨速度 $v=0.1$，设时刻 $t$ 水面高度 $h(t)=0.1t$，则压力 $$F(t)=\frac{2\rho g}{\sqrt3}\int_{h(t)}^{\sqrt3+h(t)} (y-h(t))(\sqrt3 - (y-h(t)))dy.$$ 步骤2：令 $u=y-h(t)$，则 $\displaystyle F(t)=\frac{2\rho g}{\sqrt3}\int_0^{\sqrt3} u(\sqrt3-u)du$ 为常数，故变化率为0。 **难度**：★★★★☆