kaoyan1basic 高等数学 第3题
📝 题目
### 【基础篇】第3题（填空题） 3．将地面上质量为 1 的物体铅直向上举高，记地球半径为 $R$ ，质量为 $M$ ， 引力常数为 $G$ ，则物体摆脱地球引力至少需做功 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{GM}{R}$ **解析**：物体从地面（距地心$R$）到无穷远处，克服引力做功等于引力势能的增加。引力$\displaystyle F = \frac{GMm}{r^2}$，$m=1$，做功$\displaystyle W = \int_R^{+\infty} \frac{GM}{r^2} dr = \left[-\frac{GM}{r}\right]_R^{+\infty} = \frac{GM}{R}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：明确物理模型：物体从地面到无穷远克服引力做功等于引力势能增量。
物体质量为1，地球半径为R，质量为M，引力常数为G。物体从地面（距地心R）到无穷远处，克服地球引力所做的功等于引力势能的增加。
提示：注意物体质量m=1，简化计算。
步骤 2/4
目标：写出万有引力公式。
根据万有引力定律，地球对物体的引力大小为 F = GMm/r^2，其中m=1，所以 F = GM/r^2，方向指向地心。
公式：F = \frac{GMm}{r^2}
提示：r是物体到地心的距离。
步骤 3/4
目标：建立积分表达式求功。
物体从地面（r=R）上升到无穷远（r→∞），克服引力做功为 W = ∫_{R}^{∞} F dr = ∫_{R}^{∞} (GM/r^2) dr。
公式：W = \int_{R}^{\infty} \frac{GM}{r^2} dr
提示：积分方向与引力方向相反，但直接积分绝对值即可。
步骤 4/4
目标：计算积分。
计算定积分：∫ (GM/r^2) dr = -GM/r，代入上下限得 W = [ -GM/r ]_{R}^{∞} = 0 - (-GM/R) = GM/R。
公式：\int \frac{GM}{r^2} dr = -\frac{GM}{r}
提示：注意无穷远处值为0。
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