kaoyan1basic 高等数学 第2题
📝 题目
### 【强化篇】第2题（选择题） 2．设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\sin x \cos y, & x \neq 0, \\ 1-\cos y, & x=0,\end{array}\right.$ 则 $(\quad)$ 。 （A）$f_{x}^{\prime}(0,0)=0$ （B） $\lim _{x \rightarrow 0} \lim _{y \rightarrow 0} f(x, y)=0$ （C）$f_{x x}^{\prime \prime}(0,0)=1$ （D）$f_{y}^{\prime}(0,0)=1$
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：$f(x,y) = \begin{cases} \sin x \cos y, & x \neq
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：计算 f_x'(0,0) 并判断选项 A
使用偏导数定义：f_x'(0,0) = lim_{h→0} [f(h,0)-f(0,0)]/h。f(h,0)=sin h * cos 0 = sin h，f(0,0)=1-cos0=0，所以 f_x'(0,0)=lim_{h→0} sin h / h = 1。但注意选项 A 说 f_x'(0,0)=0，实际上为1，所以 A 错误。
公式：f_x'(0,0) = lim_{h→0} (f(h,0)-f(0,0))/h
提示：分段函数在分界点求偏导需用定义。
步骤 2/4
目标：计算累次极限 lim_{x→0} lim_{y→0} f(x,y) 并判断选项 B
先固定 x≠0，lim_{y→0} f(x,y)=lim_{y→0} sin x cos y = sin x。再取 x→0，得 lim_{x→0} sin x = 0。若 x=0，则 f(0,y)=1-cos y，lim_{y→0} f(0,y)=0，再取 x→0 不影响。所以累次极限为0，选项 B 正确。
公式：lim_{x→0} lim_{y→0} f(x,y) = lim_{x→0} sin x = 0
提示：注意累次极限与二重极限的区别。
步骤 3/4
目标：计算 f_xx''(0,0) 并判断选项 C
先求 f_x'(x,y) 在 (0,0) 附近表达式。当 x≠0 时，f_x'(x,y)=cos x cos y；当 x=0 时，f(0,y)=1-cos y，对 x 求偏导需用定义。但 f_x'(0,0)=1，而 f_x'(x,0)=cos x，则 f_xx''(0,0)=lim_{h→0} [f_x'(h,0)-f_x'(0,0)]/h = lim_{h→0} (cos h -1)/h = 0，所以选项 C 错误。
公式：f_xx''(0,0) = lim_{h→0} (f_x'(h,0)-f_x'(0,0))/h = lim_{h→0} (cos h -1)/h = 0
提示：二阶偏导也需用定义。
步骤 4/4
目标：计算 f_y'(0,0) 并判断选项 D
用定义：f_y'(0,0)=lim_{k→0} [f(0,k)-f(0,0)]/k = lim_{k→0} [(1-cos k)-0]/k = lim_{k→0} (1-cos k)/k = 0，所以选项 D 错误。
公式：f_y'(0,0) = lim_{k→0} (1-cos k)/k = 0
提示：注意 1-cos k ~ k^2/2，除以 k 趋于0。
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